Maximal volym

Hej, 

Jag klarar inte av att lösa uppgiften på bilden (cylinderns maximala volym)

Nedan följer mitt försök:

1. Jag ser att $R$ utgör hypotenusan i en triangel som kan uttryckas $\frac{h}{2}+(2r)^2 = R$. Jag tänker att det är $2r$ då ena kateten utgörs av diametern och inte radien.

Detta landar i sambandet:

$r = (\frac{\sqrt{R^2-0,25h^2}}{4})$

Då kan cylinderns volym uttryckas:

$V = \pi(\frac{R^2-0,25h^2}{16})h$

Efter derivering får jag $4\pi R^2 = 3\pi h^2$ vilket ger $h = \sqrt{\frac{4}{3}} \cdot R$

Sambandet verkar vara fel för när jag substituerar $h$ i formeln för volym så får jag ett svar som inte överensstämmer med facit.

Vet inte om jag tänker fel eller räknar fel eller bådadera.