Maximal area

Du gör ett räknefel när du ska förenkla

$\sqrt{36-a^2}$

Du kan INTE dra roten ur varje term för sig.

Okej jag förstår. Finns det ett annat sätt jag kan förenkla på, eller ska jag gå vidare med att derivera?

Det finns flera sätt att komma vidare. Du kan derivera direkt, vilket blir lite bökigt eftersom funktionen innehåller en rot med en inre derivata. Det går, men är lite jobbigt.

Ett annat sätt som ofta är gångbart är att inse att du lika gärna kan maximera kvadraten på arean. Arean och kvadraten på arean har sitt maximum för samma värde på a. Om du jobbar med kvadraten på arean slipper du rot-tecknet och deriveringen blir mycket enklare. Prova!

Tack för tipset. Visste inte ens att man kunde göra så. Tror dock att jag gjort fel, för visste inte hur jag skulle räkna ut a nu.
Vad säger ni?

Du har använt kvotregeln för derivering och fått rätt svar, men det är onödigt att använda den när nämnaren är en konstant: derivatan av 36a² är 72a och derivatan av a⁴ är 4a³.

Så nu har du derivatan av (F(a))². När är F(a)² störst?

Alternativt definierar man $\theta$ som vinkeln mellan sidan $a$ och $c$. Det ger:

$b=6\sin \theta$

$a=6\cos \theta$

$A(\theta)=\frac{36\sin \theta \cos \theta}{2}=9\sin 2\theta$

och söker sedan:

$\max_{\theta} A(\theta)=...$

Du behöver bara areaformeln egentligen. Triangelns area är bas gånger höjd, delat på 2. Dvs A = ch/2, med h som i figuren:

Eftersom c är konstant, är arean som störst när h är som störst.

Som Laguna säger så blev deriveringen mer jobbig än nödvändigt. Du behöver inte derivera konstanter (dvs siffrorna i uttrycket). Jag hade gjort deriveringen såhär:

${\left(F{\left(a\right)}^2\right)}^{\text{'}}={\left(\frac{36a^2-a^4}{4}\right)}^{\text{'}}=\frac{72a-4a}{}$³4=18a-a3

Samma resultat i slutänden, men lite kortare och med mindre risk för att göra slarvfel.

Tillbaka till uppgiften: Du har derivatan. Vad ska du göra med den för att hitta maximala arean?

En bonusuppgift: När du räknat ut a, passa på att räkna ut b och fundera lite på varför det blir så?

Hej. Jag löste uppgiften så här.

Rita upp halvcirkeln vars medelpunkt är (x0,y0)=(3,0) med radie 3.

Höjden h i figuren ovan blir då:

$$\begin{gathered} {(x-x_0)}^2+{(y-y_0)}^2=r^2 \\ {y}_0=0 x_0=3 r=3 y=h \\ {(x-3)}^2+h^2=9 \end{gathered}$$

Sedan uttrycks h som en funktion:

$$\begin{gathered} {(x-3)}^2+h^2=9 \\ {h}^2=9-{(x-3)}^2 \\ h=\sqrt{9-{(x-3)}^2} \end{gathered}$$

Arean av triangel i min figur är då:

$$\begin{gathered} A=\frac{x·h}{2}+\frac{(6-x)·h}{2}=\frac{x·h+(6-x)·h}{2}=\frac{6h}{2}=3h \\ A=3h=3\sqrt{9-{(x-3)}^2} \end{gathered}$$

Sedan tar vi reda på det maximala värdet på A:

$$\begin{gathered} A=3\sqrt{9-{(x-3)}^2}=3(9-{(x-3)}^2{)}^{\frac{1}{2}} \\ \frac{dA}{dx}=\frac{3}{2}(9-{(x-3)}^2{)}^{-\frac{1}{2}}·-2(x-3)=\frac{-3(x-3)}{\sqrt{9-{(x-3)}^2}} \\ \frac{dA}{dx}=0 \\ 0=\frac{-3(x-3)}{\sqrt{9-{(x-3)}^2}}\to 0=-3(x-3) \to x=3 \end{gathered}$$

Den maximala arean fås alltså då x=3. Om A=3h så är Amax=3*3=9.

Hejsan, har inte hunnit kolla igenom era svar förrän nu. Tack för hjälpen. Jag löste den såhär:

PerEri skrev:

Som Laguna säger så blev deriveringen mer jobbig än nödvändigt. Du behöver inte derivera konstanter (dvs siffrorna i uttrycket). Jag hade gjort deriveringen såhär:

${\left(F{\left(a\right)}^2\right)}^{\text{'}}={\left(\frac{36a^2-a^4}{4}\right)}^{\text{'}}=\frac{72a-4a}{}$³4=18a-a3

Samma resultat i slutänden, men lite kortare och med mindre risk för att göra slarvfel.

Tillbaka till uppgiften: Du har derivatan. Vad ska du göra med den för att hitta maximala arean?

En bonusuppgift: När du räknat ut a, passa på att räkna ut b och fundera lite på varför det blir så?

a=b
Varför vet jag inte :)

Det blir så av symmetriskäl. Länden a kan variera mellan 0 och c och du har i ena extremläget att

a=0 vilket ger att b=c och arean=0

Andra extremsituationen är att

a=c vilket ger att b=0 och arean=0 (igen)

Om arean är noll i bägge ändlägena måste arean ha ett största värde någonstans där mellan. Eftersom uppgiften är helt symetrisk (a och b är utbytbara) så är det rimligaste att areans maximum uppstår då a=b. Det sammanfaller också med det som Skaft skrev tidigare i tråden.