17 svar

420 visningar

dellifin behöver inte mer hjälp

maxhastighet och derivata=0 (flervariabelsanalys)

En partikel rör sig i planet längs en ellipskurva så att den vid tidpunkten t ≥0 befinner sig i punkten
r(t) = (3 cos 2πt,2 sin 2πt).

Jag ska beräkna i vilka punkter på kurvan farten är som störst.

Deriverar och får fram att r'(t)= (-6π sin 2πt, 4π cos 2πt)

Fastnar nu när jag ska ta fram i vilka punkter r'(t)=0. Antar att skalärprodukten mellan r(t) och r'(t) ska bli noll men fattar inte riktigt hur jag ska komma vidare.

$(\begin{matrix} r (t) \end{matrix}) \circ (r' (t)) = 0$

(3 cos 2πt,2 sin 2πt) $\circ$ (-6π sin 2πt, 4π cos 2πt)= -9π cos πt sin πt+ 4π cos πt sin πt = -5π cos πt sin πt=0

Fattar att ett nollställe är t=0 men vet inte hur jag ska få fram att det är i punkterna ±2 också.

$v (t) = r' (t)$ beskriver hastigheten som en vektor med två komposanter.

För att få fram den sammanlagda farten för partikeln behöver man beräkna absolutbeloppet på hastighetsvektorn.

$v (t) = |v (t)|$

$v (t) \neq 0$ då farten är som störst.

Däremot gäller då att $v' (t) = 0$

Okej, så antar att jag ska derivera igen? Och sen sätta in värdena jag får fram på t i absolutbeloppet på hastighetsvektorn och då få ut vilken maxhastigheten är.

MEN, hur beräknar jag när v'(t)=0? Fattar liksom inte hur jag ska göra.

Men abs(v(t)) blir ju en skalärfunktion med kvadratrot och trig-funktion. Derivera, sätt=0 och lös sen ut t.

Analys skrev:
Men abs(v(t)) blir ju en skalärfunktion med kvadratrot och trig-funktion. Derivera, sätt=0 och lös sen ut t.

Förlåt, men jag hänger inte med. Ska jag derivera v(t) igen eller menade du att jag ska derivera r(t) till v(t) och sätta =0?

Du har v på vektorform. Skriv om den på absolutform enligt jardnfoa ovan och derivera sen. Då hittar du t som Max/min fart.

Analys skrev:
Du har v på vektorform. Skriv om den på absolutform enligt jardnfoa ovan och derivera sen. Då hittar du t som Max/min fart.

Jag får inte till det här?

Blir inte det 0 om parentesen blir 0?

sorry, såg inte att du inte gjort deriveringen. Puh.

Jo! Bland annat. Facit säger att farten är som störst i punkterna (0,±2). Hur får jag fram +-2?

Kan kolla på det om20.

Jag kan inte se att du räknat fel på v(t).

Isf blir

v'(t)=[massa reservationer för räknefel,massiva inre derivators] = 2pi*1/2 * 1/rot(5*sin(2pi*t)^2 + 4) * 2pi * cos(2pi*t) * 2* 5 * sin(2pi*t)

med sin(2pi*t)*cos(2pi*t) i täljaren. Nollställen på 0, 0,25, 0,5, 0,75 etc.

Detta stämmer med min plot av v(t) samt sin(2pi*t)*cos(2pi*t).

Den sistnämnda upplyft +12 för att kunna jmf. enkelt.

Däremot stämmer ju inte detta med facits nollställen. :-(.

Någon som kan kolla igenom beräkningarna?

Analys skrev:
Någon som kan kolla igenom beräkningarna?

Jag tror du fick med en tvåa för mycket med det påverkar inte var nollställena hamnar.

Du har räknat helt rätt när du säger att $v' = 0$ då $t \in \{0, \frac{1}{4}, \frac{1}{2}, \frac{3}{4}\}$ .
Men att $v' = 0$ betyder bara att farten är som stört eller som minst.

För att veta vilket kan man som du gjort plotta kurvan för $v (t)$ .
Då ser vi att farten är som stört när $t \in \{\frac{1}{4}, \frac{3}{4}\}$

Frågan är i vilka punkter farter är som störst.
Alltså måste vi sätta in dessa värden av $t$ i uttrycket för partikelns position, $r (t)$ :

$r_{1} = r (\frac{1}{4}) = (3 \cos (\frac{π}{2}), 2 \sin (\frac{π}{2})) = (0, 2)$

$r_{2} = r (\frac{3}{4}) = (3 \cos (\frac{3 π}{2}), 2 \sin (\frac{3 π}{2})) = (0, - 2)$

Tusen tack! Nu fattade jag äntligen!

1. Fy vad jobbigt det var att derivera fram v'(t)....

2. Är det meningen att man ska kunna skissa en sådan kurva ur huvudet? :') Med tanke på att man inte får ha några hjälpmedel på tenta osv.

Får du inte ens ha hjälpmedel på flervariabel? Vad tramsigt. Vilket universitet?

Enklast är som vanligt teckentabell.

Notera att det är en periodisk funktion och skissa fram ett beteende mellan rötter. Du bör ha lärt dig hur man gör det i en envariabelsanalys-kurs.

SaintVenant skrev:
Får du inte ens ha hjälpmedel på flervariabel? Vad tramsigt. Vilket universitet?

Enklast är som vanligt teckentabell.

Notera att det är en periodisk funktion och skissa fram ett beteende mellan rötter. Du bör ha lärt dig hur man gör det i en envariabelsanalys-kurs.

Nix! KTH.

Japp, teckentabell förstås. Men blir så lätt fel när det är omständliga funktioner som den. Har precis börjat med flervarren så blir väl lättare när man kommer in i det.

Haha, flervarre, nytt uttryck för mig. Vi slängde oss dock med linalg på min tid ….

Man kan även lösa uppgiften på detta sätt.

Farten är max/min då farten i kvadrat är max/min. Prickning betecknar i det följande derivering map t.

$\frac{d}{d t} (\dot{\vec{r}} ∙ \dot{\vec{r}}) = 2 \dot{\vec{r}} ∙ \ddot{\vec{r}}$ .

I detta fall så har vi dessutom att $\ddot{\vec{r}} = - 4 π^{2} \vec{r}$ .

Således är farten max/min då $\vec{r} ∙ \dot{\vec{r}} = 0$ . Dvs då ortsvektorn är ortogonal mot hastigheten. Eftersom hastigheten är riktad tangentiellt till ellipskurvan så får vi max eller min då orvektorn är ortogonal mot tangenten till kurvan.

Med kunskap om hur en ellips ser ut så inser vi att farten har max/min då partikeln paserar koordinataxlarna. Dvs då $\vec{r} = (\pm 3, 0) e l l e r \vec{r} = (0, \pm 2)$ . Genom insättning i hastighetsformeln så ser vi att det senare alternativet ger max.

Svara

Visa senaste svar