Max triangelarea under en kurva

Du kan beräkna den största arean en sådan triangel kan ha utan integraler, men du behöver använda en integral för att kunna beräkna arean mellan parabeln och x-axeln.

Har ni jobbat med integraler ännu?

Ok, men hur skulle man isf kunna beräkna triangelns maximala area utan integralberäkning? 

Börja med att rita ett koordinatsystem och parabeln.

Rita en triangel som uppfyller villkoret och som du själv tycker ser stor ut.

Visa din skiss så fortsätter vi därifrån.

Hur gör man för att infoga en bild?

Kolla här.

Här kommer (förhoppningsvis en bild. Jag tycker det ser ut som triangeln får sin största area om höjden motsvarar y-max (dvs där derivatan =0. Men det är bara en grov changsning. Hur ska jag få reda på vilket x-värde (förutom x=2) som maximerar triangelns area? 

Snygg bild och bra tänkt.

Ett par kommentarer.

Triangeln behöver inte vara rätvinklig. Den kan alltså vara större än den du ritat in nu.

Inför en obekant storhet x som motsvarar x-koordinaten för triangelns topp.

Då kan du uttrycka triangelns area A som en funktion av x, dvs arean A = A(x). Det är detta uttryck du ska försöka maximera.

f(x)=0 ger att x=2, dvs parabelns bas = 2. Triangelns bas blir då (2-x).

Bas=2-x och höjd=2x-x². Höjden på triangeln fås gm att sätta in x-värdet i f(x)=2x-x² 

Det ger: area=(bas×höjd)÷2 =>

area=((2-x)(2x-x²))÷2 = 4x-2x²-2x²+x³ = x³-4x²+4x

f'(x)=3x²-8x+4=0=> x=4÷3 +/- sqr(16÷9 - 12÷9)

= 4÷3 +/- 2÷3 =>x₁=2 och x₂=2÷3

Detta ger f(2)=x³-4x²+4x = 8-16+8 = 0

och f(2÷3)=8÷27-4(4÷9)+8÷3 =

(8-48+72)÷27=32÷27.

Svaret blir alltså att triangelarean = 32÷27, men vad säger det om hur stor del av kurvarean som 32÷27 motsvarar???

Henrik skrev:

f(x)=0 ger att x=2, dvs parabelns bas = 2. Triangelns bas blir då (2-x).

Varför är triangelns bas bara 2-x?

Varför inte 2 (se bild)?

Okej, jag ändrar triangelns bas till 2 (men hur vet jag att just basen 2 maximerar arean?).

Ny Area(x)= ((2)(2x-x²))÷2 = 2x-x^2_. 

sätter derivatan =0 som ger A'(x)=2-2x, dvs x=1 ger den maximala arean: A(1)=2(1)-1² = 1. Triangelns största area blir alltså 1 om basen =2. Men det säger fortfarande inte hur stor del av arean under kurvan det är? Har jag gjort rätt, och måste jag till slut ändå använda integralen för att kunna jämföra triangelarean med hela arean under kurvan (men vi har ännu inte kommit in på integralberäkning)? Jag undrar som sagt också hur man vet att maximal bas även ger max area?

Henrik skrev:

Okej, jag ändrar triangelns bas till 2 (men hur vet jag att just basen 2 maximerar arean?).

Titta på parabelns form.

Oavsett hur kort bas du har kan du alltid "pricka" alla punkter på parabeln med triangelns topp.

Det betyder att triangelns höjd är oberoende av hur lång basen är.

Och enligt formeln för triangelns area så kommer då en längre bas ge ett större värde på arean.

På samma sätt kan du resonera vad gäller triangelns topp.

Oavsett var du väljer att sätta den så kan du alltid välja en längd på basen helt fritt.

Det betyder att triangelns bas är oberoende av hur hög höjden är.

Och enligt formeln för triangelns area så kommer då en högre höjd att ge ett större värde på arean.

Ny Area(x)= ((2)(2x-x²))÷2 = 2x-x^2_. 

sätter derivatan =0 som ger A'(x)=2-2x, dvs x=1 ger den maximala arean: A(1)=2(1)-1² = 1. Triangelns största area blir alltså 1 om basen =2.

Ja det stämmer.

Men det säger fortfarande inte hur stor del av arean under kurvan det är? Har jag gjort rätt, och måste jag till slut ändå använda integralen för att kunna jämföra triangelarean med hela arean under kurvan (men vi har ännu inte kommit in på integralberäkning)?

Det var värre. Jag kommer inte direkt på någon annan metod att areaberäkna området mellan parabeln och x-axeln än att använda en integral.

Jag undrar som sagt också hur man vet att maximal bas även ger max area?

Se svar ovan.

Tack, då är jag nöjd med svaret!