Max-och minproblem, beräkna det kortaste vertikala avståndet mellan kurvan och linjen

Hej,

Har behov av lite hjälp att komma igång med denna uppgift, jag tycker mig inte hitta i textboken hur man beräknar avstånd som enligt nedan uppgift:

Beräkna det kortaste vertikala avståndet d mellan kurvan f(x)=e^x och linjen g(x)=2x. Svara exakt.

Jag tänker mig att jag först ska få fram de två punkter på kurvan respektive linjen som avståndet d ska beräknas mellan. Bilden nedan är indikativ då avstånden inte blev exakta när jag ritat grafen.

Din derivata är fel.

Hur tänker du fortsätta?

Derivatan är fel, $h (x)$ är inte $e^{x}$ utan $h' (x) = 1 \cdot e^{x} - 2 \cdot 1 \cdot x^{1 - 1} = e^{x} - 2$

smaragdalena skrev :
Din derivata är fel.
Hur tänker du fortsätta?

Jag tänker att jag måste få fram x för att kunna beräkna e^x-2

Vad är det för x du vill ha reda på?

smaragdalena skrev :
Vad är det för x du villha reda på?

e^x

För vilket x? Det finns ett särskilt x du borde vilja ta reda på - det är standardmetoden för alla min/maxproblem.

smaragdalena skrev :
För vilket x? Det finns ett särskilt x du borde vilja ta reda på - det är standardmetoden för alla min/maxproblem.

Tack, jag läser mig fram lite och återkommer om jag fastnar på nytt.

Vet du vilket x-värde det är du borde ta reda på?

smaragdalena skrev :
Vet du vilket x-värde det är du borde ta reda på?

Nej, tog en paus men har inte blivit klokare av det :( är det x:et i h' (x) som jag ska ta reda på?

Du borde lösa ekvationen h'(x) = 0.

Vad är beräknat när jag kommit såhär långt:

h'(x) = 0

e^x - 2 = 0

e^x = 2

Om du vill ha reda på värdet för x skall du logaritmera båda leden.

Hej! Jag försöker lösa samma uppgift men har också svårt att komma igång. Varför väljer ni att lösa h'(x)=0?

solstrålen123 skrev :
Hej! Jag försöker lösa samma uppgift men har också svårt att komma igång. Varför väljer ni att lösa h'(x)=0?

f(x) är den övre kurvan.

g(x) är den undre kurvan.

För en viss x-koordinat $x_1$ så är det vertikala avståndet mellan den övre kurvan och den undre kurvan lika med $f(x_1)-g(x_1)$ . Detta gäller oavsett vilket värde vi väljer på $x_1$ .

Alltså gäller att $h(x)=f(x)-g(x)=e^x-2x$ är ett uttryck för det vertikala avståndet mellan den övre kurvan och den undre kurvan för ett givet värde på x.

Det är detta avstånd som ska minimeras, vilket är samma sak som att minimera funktionen h(x).

En standardmetod att hitta lokala min- och maxpunkter för en funktion är att derivera funktionen och sätta derivatan lika med 0. De x-värden som löser ekvationen $h'(x)=0$ är de x-värden för vilka $h(x)$ har ett min- eller maxvärde.

Hej! Jag har problem med samma uppgift, jag undrar hur man får fram koordinaterna för de båda punkterna, eller om man ens ska göra det. Jag kan inte använda avståndsformeln om jag inte har koordinaterna till båda punkterna. Hur får man fram x:et?

Gör en ny tråd eftersom du har nya frågor (även om det finns en gammal tråd om samma fråga). /moderator

Läs inlägget från Yngve, det ger er nästan hela lösningen. Och viktigast av allt så förklarar det hur man går tillväga.

Svara

Visa senaste svar