Max och Min till flervaribelfunktion.

Bestäm största och minsta värde till funktionen $\frac{8}{x^2+y^2+1}+4xy D=\frac{1}{4}\le x^2+y^2\le 2$.

Jag partiell deriverar och försöker hitta nollställen innanför randen. 

$f\text{'}x=\frac{-16x}{(x^2+y^2+1)^2}+4y=0 f\text{'}y=\frac{-16y}{(x^2+y^2+1)^2}+4x=0 \frac{4y}{x}=(x^2+y^2+1)^2 insatt i ekvationerna ger \frac{-16x^2}{4y}+4y=0$

$\leftrightarrow -16x^2=-16y^2\leftrightarrow x^2=y^2\to y=\pm x$vi fall uppdelar då y=x och när y=-x. $$\begin{gathered} y=x får jag \frac{-16x}{(2x^2+1)^2}+4x=0 =4=(2x^2+1)^2=\to x=\pm \frac{1}{\sqrt{2}} \\ Alltså har vi punkterna x_1=\frac{1}{\sqrt{2}},y_1=\frac{1}{\sqrt{2}} och x_2=-\frac{1}{\sqrt{2}},y_2=-\frac{1}{\sqrt{2}} Vilket motsvarar funktiosvärderna 6 och 6. \end{gathered}$$

På randen gör vi såhär $$\begin{gathered} x=r\cos t y=r\sin t där r=\frac{1}{2} och 0\le t\le 2\mathrm{\pi } \mathrm{g}\left(\mathrm{t}\right)=32/5+\mathrm{cost}*\mathrm{sint} \\ \mathrm{g}\text{'}\left(\mathrm{t}\right)=0=\frac{\cos \left(2\mathrm{t}\right)}{2}=0 =2\mathrm{t}=\frac{\mathrm{\pi }}{2}+2\mathrm{\pi }*\mathrm{k}= {\mathrm{t}}_1=\frac{\mathrm{\pi }}{4},{\mathrm{t}}_2=\frac{5\mathrm{\pi }}{4} \\ \mathrm{g}\left(\frac{\mathrm{\pi }}{4}\right)=32/5+1/4, \mathrm{g}\left(\frac{5\mathrm{\pi }}{4}\right)=32/5+1/4. \end{gathered}$$

på den yttre cirkeln gör jag såhär $$\begin{gathered} x=r\cos t y=r\sin t r=\sqrt{2} och 0\le t\le 2\mathrm{\pi } \\ \mathrm{v}\left(\mathrm{t}\right)=8/3+8\mathrm{cost}*\mathrm{sint} \\ \mathrm{v}\text{'}\left(\mathrm{t}\right)=0=8\cos \left(2\mathrm{t}\right) = 2\mathrm{t}=\frac{\mathrm{\pi }}{2}+2\mathrm{\pi }*\mathrm{k} {\mathrm{t}}_1=\frac{\mathrm{\pi }}{4}, {\mathrm{t}}_2=\frac{5\mathrm{\pi }}{4}. \\ \mathrm{v}\left(\frac{\mathrm{\pi }}{4}\right)=8/3+4 \mathrm{v}\left(\frac{5\mathrm{\pi }}{4}\right)=8/3+4 \end{gathered}$$

jag avläser då att de minsta värdet är 6 och största värdet 8/3+4, men dettta är fel. Vart har jag gjort fel?