Max och min

indhelpmathematica skrev:

Hej jag har i uppgift att undersöka max och min $till f(x,y)=\ln (x+y)-\frac{(x^2+y^2)}{16}$ i området som defineras av $2\le x+y\le 8$,$x,y\ge 0$.

 

Jag ser att området begränsas av $y=2-x och y=8-x$. Jag undersöker först efter max och min innanför randen och sedan på randen.  Det jag är osäker över är hur jag gör längs x=0 och y=0, linjerna är inte helt och hållet innnanför definitionsområdet, bara en del? Är det fotfarande okej att undersöka längs linjerna och bortse eventuella punkter som ligger utanför området?

 

Jag hoppas ni förstår vad jag menar.

Du glömde två begränsningslinjer.

Området begränsas av $x=0$, $y=0$, $y=2-x$ och $y=8-x$.

Varför tycker du att de delarna av randen där $x=0$ och $y=0$ inte ingår i definitionsmängden?

På den delen av randen där  $x=0$ gäller ju att $2\leq y\leq 8$

På den delen av randen där  $y=0$ gäller ju att $2\leq x\leq 8$

Hej!

Funktionens definitionsområde är ritat i denna figur som visar att områdets rand utgörs av de fyra räta linjerna $L_k$ för $k=1,2,3,4$.

• Definitionsområdet är slutet (på grund av olikheterna $\leq$) och begränsat och
• funktionen $f$ är kontinuerlig på definitionsområdet.

Därför antar funktionen både sitt största värde och sitt minsta värde på definitionsområdet; antingen på områdets rand eller inuti området. 

• Linjen $L_1 = \{(x,y) : 2\leq x \leq 8 \text{ och } y=0\}$ och på denna del av randen är funktionen $f(x,0) = \ln x - x^2/16$ där $2\leq x \leq 8$; funktionens största värde är ... och dess minsta värde är ...
• Linjen $L_2 = \{(x,y) : x+y=2 \text{ och } 0 \leq x \leq 2\}$ och på denna del av randen är funktionen $f(x,2-x) = \ln 2 - \frac{1}{16}(x^2+(2-x)^2)$ där $0\leq x \leq 2$; funktionens största värde är ... och dess minsta värde är ... 
• Linjen $L_3 = \{(x,y): x=0 \text{ och } 2\leq y \leq 8\}$ och på denna del av randen är funktionen $f(0,y) = \ln y - y^2/16$; funktionens största värde är ... och dess minsta värde är ...
• Linjen $L_4 = \{(x,y):0\leq x\leq 8 \text{ och } y=8-x\}$ och på denna del av randen är funktionen $f(x,8-x) = \ln 8 - \frac{1}{16}(x^2+(8-x)^2)$; funktionens största värde är ... och dess minsta värde är ...

För att undersöka det inre av definitionsområdet behöver du bestämma funktionens gradientfält $\nabla f$ och söka efter punkter (så kallade lokala extrempunkter) där gradientvektorn $(\nabla f)(x,y)$ är lika med nollvektorn; om funktionen $f$ har ett minimum eller maximum i det inre av definitionsområdet så är det i någon av dessa lokala extrempunkter.