Max/min av f(x,y) inom en cirkel på xy-planet

Hej!

Fråga

Find the absolute maximun and minimum values of

f (x, y) = x^{2} + y^{2} - 2 y + 1

on the region

R = \{(x, y) : x^{2} + y^{2} \leq 4\}

Jag har hittat en inre kritisk punkt $(x, y, z) = (0, 1, 0)$ men nu vill jag undersöka då definitionsmängden är $g (x, y) = x^{2} + y^{2} = 4$ , dvs. på cirkeln. Med Lagrange metod har jag hittat två punkter $(0, 2, 1)$ och $(0, - 2, 9)$ där jag klart och tydligt ser att max blir 9 och min blir 0 av $f (x, y)$ inom önskat område. Detta är också rätt svar.

Dock ska frågan lösas utan Lagrange men då går något snett.
$Inre punkter \nabla f = . . . = 2 x \hat{i} + (2 y - 2) \hat{j} \nabla f = \vec{0} . . . \Leftrightarrow (x, y) = (0, 1) f (0, 1) = 0$

Lösning utan Lagrange

Punkter på cirkeln x^{2} + y^{2} = 4 x^{2} = 4 - y^{2} insätts . i f (x, y) f (x, y) = x^{2} + y^{2} - 2 y + 1 g (y) = 4 - y^{2} + y^{2} - 2 y + 1 = = 5 - 2 y Sätter \frac{d g}{d y} = 0 \Rightarrow 0 = - 2 Här kör \det ihop sig för mig . Jag ser i Geogebra 3 D att \det blir rätt med Lagrange men inte på detta sätt .

Tack på förhand :)

Du har dg/dy = -2, dvs avtagande funktion, så g antar sitt största värde då y antar sitt minsta värde, det minsta möjliga värdet för y (på cirkeln x² + y² = 4) är -2. Så det största värdet på randen är 5 - 2(-2) = 9.

Svara