Max Volym (optimering)

Med given area A så får du ett samband mellan r och h. Vilket?

Nu kanske jag har missuppfattad det lite, är den totala arean A eller är arean av duken = A (en konstant A)? Men mantelarean måste nog täckas in i arean täcker jag, det menas kanske att $A= 2\pi rh$ och bryta ut h här och stoppa in i volymen för sfären och cylindern och sedan addera $V_c$ och $V_s$ och derivera? 

A är konstant. Testa göra som du själv sa.

ah, okej, jag ger det ett försök.

$A=2 \pi r h \implies h= \dfrac{A}{2 \pi r}$, byter jag nu ut vad h är i $V_c$ fås, $V_c= \dfrac{\pi r^2A}{2 \pi r} \implies V_c=\frac {Ar}{2}$, detta ger att $V=V_s+V_c= \frac{Ar}{2}+ \frac{2 \pi r^3}{3} \implies V= \frac{r}{6} (3A+4 \pi r^2)$ Ska jag bara derivera med avseende på r och hitta extrempunkten?

Har inte kontrollräknat, har ingen penna på mig, men ja du ska derivera fram max.

Jag har kontrollräknat (tror inte jag missat något men det är ju alltid möjligt) och den verkar inte gå lösa ut r eftersom det kommer bli komplext. $V'(r)= \frac{A}{2}+2 \pi r^2$

Den derivatan är växande ja. Rimligt, för du kan få ett tält hur stort som helst om inte takets material räknas, bara att göra själva botten till en enorm cirkel av en sytråd 😜

haha det är sant, det oändliga tältet ;). Jag tippar på att uppställning är fel någonstans, men jag kan nästan tycka att det verkar rimligt (om man bortser från att derivatan är en rätlinje).

A är total area, d.v.s area av halvsfär med radie r, plus area av cylinder med radie r och höjd h.

$A = 2\pi r^2 + 2\pi rh$

Ställ upp area likadant som du gjorde med vol, ena biten plus andra. Så kanske vi kan sätta ihop det sen.

Efter oändligt med slarv så kunde jag äntligen räkna ut det. Okej, samma uppställning fast vi jobbar nu med tot area.

$A=2 \pi r^2+2 \pi rh \implies h= \dfrac{A-2 \pi r^2}{2 \pi r}$, stoppar in i $V_c$ igen och denna gången får istället
$V_c= \frac{Ar-2 \pi r^3}{2}$, detta ger oss att:
$V= \frac{3Ar-2 \pi r^3}{6}$, $V'(r) = 0 \implies r= \pm \sqrt{\frac{A}{2 \pi}}$. Stoppa in rätt r nu i $V(r)$ så är det klart,
$V( \sqrt{\frac{A}{2 \pi}})= \dfrac{A^{3/2}}{3 \sqrt{ 2 \pi}}$. nu verkar det rimligt!!

Tack Dr. G och Micimacko, ni var till stor hjälp som vanligt! :)

(Tog bort felaktigt inlägg.)