Måtteori

Hej!

Jag är lite fundersam över följande:

Jag känner mig förvirrad över det faktum att $\mu_F\left(\left(-\infty,x\right]\right)=F\left(x\right)$ och att $F$ då "genererar" ett mått. Om jag har förstått det rätt så gäller alltså att måttet av en mängd $S\subset\mathbb{R}$ där $S$ är (måste vara?) på formen $S=\left(-\infty, x\right]$ för nåt $x\in\mathbb{R}$ , ges av hur $F$ definieras sist. Så exempelvis gäller att $\mu_F\left(\left(-\infty, 1/2\right]\right) = \frac{1}{2^3}=\frac{1}{8}$ ?

Nu är jag ännu mer förvirrad. Måttet $\mu_F$ tar bara element i $\sigma$ -algebran som argument, vilket i vårt fall är element av Borel- $\sigma$ -algebran (så det bör vara $S\in\mathcal{B}\left(\mathbb{R}\right)$ i originalposten). Men alla delmängder av den $\sigma$ -algebran är väl inte på formen $\left(-\infty,a\right]$ för något $a\in\mathbb{R}$ ? Alla (exempelvis) öppna mängder tillhör väl även den $\sigma$ -algebran?

Dessutom, vad menas med "Consider this pair $\left(\mu_F,F\right)$ "? Det är inte en mängd och en $\sigma$ -algebra (eftersom $\mu_F$ är ett mått), så vad syftar det på? Vad menas?

Om vi definierar $(- \infty, a] = M_{a}$ så har vi $(a, b] = M_{b} \cap {M^{c}}_{a}$

och därför

$μ ((a, b]) = μ (M_{b}) + μ ({M^{c}}_{a}) - μ (M_{b} \cup {M^{c}}_{a}) = μ (M_{b}) + 1 - μ (M_{a}) - 1 = μ (M_{b}) - μ (M_{a})$

så F:s värden på mängder av typen $(- \infty, a]$

bestämmer dess värden på mängder av typen $(a, b]$

vilka i sin tur bestämmer dess värden på mängder av typen (a,b), vilka i sin tur genererar Borel algebran.

Alltså jag kanske inte svarade så exakt på vad du frågade, kontentan är att man definierar F på en viss typ av mängder och det bestämmer måttets värde på alla Borel-mängder.

Dvs säga för alla F som uppfyller kriterierna i a) så finns ett och endast ett mått som antar samma värden som F på de mängder som ingår i F:s definitionsmängd.

Tack för svar, det klargjorde lite grann.

Jag förstår inte din uträkning av $\mu\left(\left(a,b\right]\right)$ . Vart kommer $1$ och $-1$ ifrån? Tänker du typ $\mu\left(\left(M_a\right)^c\right)=1-\mu\left(M_a\right)$ ? (Och unionen ger hela $\mathbb{R}$ ?) Bör inte det endast gälla om $\mu$ skulle vara ett sannolikhetsmått?

F genererar ett mått genom att mängder på formen (-inf, x] genererar en sigma-algebra.

Svara

Visa senaste svar