Måtteori

Nu är jag ännu mer förvirrad. Måttet $\mu_F$ tar bara element i $\sigma$-algebran som argument, vilket i vårt fall är element av Borel-$\sigma$-algebran (så det bör vara $S\in\mathcal{B}\left(\mathbb{R}\right)$ i originalposten). Men alla delmängder av den $\sigma$-algebran är väl inte på formen $\left(-\infty,a\right]$ för något $a\in\mathbb{R}$? Alla (exempelvis) öppna mängder tillhör väl även den $\sigma$-algebran?

Dessutom, vad menas med "Consider this pair $\left(\mu_F,F\right)$"? Det är inte en mängd och en $\sigma$-algebra (eftersom $\mu_F$ är ett mått), så vad syftar det på? Vad menas?

Om vi definierar $(-\infty ,a]=M_a$ så har vi $(a,b]=M_b\cap {M^c}_a$

och därför

 $$\begin{gathered} \mu \left(\right(a,b\left]\right)=\mu \left(M_b\right)+\mu \left({M^c}_a\right)-\mu (M_b\cup {M^c}_a)=\mu \left(M_b\right)+1-\mu \left(M_a\right)-1= \\ \mu \left(M_b\right)-\mu \left(M_a\right) \end{gathered}$$

så F:s värden på mängder av typen $(-\infty ,a]$

bestämmer dess värden på mängder av typen $(a,b]$

vilka i sin tur bestämmer dess värden på mängder av typen (a,b), vilka i sin tur genererar Borel algebran.

Alltså jag kanske inte svarade så exakt på vad du frågade, kontentan är att man definierar F på en viss typ av mängder och det bestämmer måttets värde på alla Borel-mängder. 

Dvs säga för alla F som uppfyller kriterierna i a) så finns ett och endast ett mått som antar samma värden som F på de mängder som ingår i F:s definitionsmängd.

Tack för svar, det klargjorde lite grann.

Jag förstår inte din uträkning av $\mu\left(\left(a,b\right]\right)$. Vart kommer $1$ och $-1$ ifrån? Tänker du typ $\mu\left(\left(M_a\right)^c\right)=1-\mu\left(M_a\right)$? (Och unionen ger hela $\mathbb{R}$?) Bör inte det endast gälla om $\mu$ skulle vara ett sannolikhetsmått?

F genererar ett mått genom att mängder på formen (-inf, x] genererar en sigma-algebra.