Mattefysikprovet 2008 Q15

Det här är nästan samma fråga som 14 (a = c*sin(v), b = c*cos(v)), med den viktiga skillnaden att v är mellan 0 och π/2. 

Du har att 

$c^2 = a^2 + b^2$

Prova några större värden på potensen

$c^3 = c^2c= (a^2 + b^2)c = a^2c+b^2c > a^3 + b^3$

eftersom c > a och c > b. 

EDIT:

På samma sätt är

$c^n = c^2c^{n-2}= (a^2 + b^2)c^{n-2} = a^2c^{n-2}+b^2c^{n-2} > a^n+ b^n$

för n > 2. 

Vi kan direkt utesluta alternativ a), eftersom det inte finns några sådana tal a, b och c för n större än två (fermats stora sats). Vi kan även prova med exempelvis en 3,4,5-triangel och n = 3, där vi får att $3^3+4^3<5^3$. 

Däremot vilket av alternativen som är rätt, hmmm, den är klurigare. Jag tänker att vi kan utgå från Pythagoras ändå. Vi vet att $a^2+b^2=c^2$. 

Vi vill nu upphöja båda led med talet k sådant att $2·k=n$. Då får vi att ${\left(a^2+b^2\right)}^k={\left(c^2\right)}^k$. Frågan är nu hur vi går från denna ekvation vi har, till den som uppgiften efterfrågar, ${\left(a^2\right)}^k+{\left(b^2\right)}^k={\left(c^2\right)}^k$. Vi kan utveckla VL med hjälp av binomialsatsen om vi vill vara noggranna, men om vi har bråttom kan vi kan också tänka att

Om vi utvecklar med binomialsatsen kommer alla termer som innehåller en blandning av a och b (dvs. allt utom aⁿ och bⁿ) att vara positiva, eftersom både a och b är positiva (sidor i en triangel). Då måste det gälla att ${\left(a^2+b^2\right)}^k={\left(a^2\right)}^k+\underset{\mathrm{positiva} \mathrm{termer}}{\underbrace{ \cdots }}+{\left(b^2\right)}^k$. Vi kan ta bort dessa positiva termer, och får då ett mindre vänsterled.

Då kan vi sluta oss till att ${\left(a^2\right)}^k+{\left(b^2\right)}^k<{\left(c^2\right)}^k$, och därmed att $a^n+b^n<c^n$. Det är inte vackert, men det fungerar.

Smutstvätt skrev:

Vi kan direkt utesluta alternativ a), eftersom det inte finns några sådana tal a, b och c för n större än två (fermats stora sats). Vi kan även prova med exempelvis en 3,4,5-triangel och n = 3, där vi får att $3^3+4^3<5^3$. 

Däremot vilket av alternativen som är rätt, hmmm, den är klurigare. Jag tänker att vi kan utgå från Pythagoras ändå. Vi vet att $a^2+b^2=c^2$. 

Vi vill nu upphöja båda led med talet k sådant att $2·k=n$. Då får vi att ${\left(a^2+b^2\right)}^k={\left(c^2\right)}^k$. Frågan är nu hur vi går från denna ekvation vi har, till den som uppgiften efterfrågar, ${\left(a^2\right)}^k+{\left(b^2\right)}^k={\left(c^2\right)}^k$. Vi kan utveckla VL med hjälp av binomialsatsen om vi vill vara noggranna, men om vi har bråttom kan vi kan också tänka att

Om vi utvecklar med binomialsatsen kommer alla termer som innehåller en blandning av a och b (dvs. allt utom aⁿ och bⁿ) att vara positiva, eftersom både a och b är positiva (sidor i en triangel). Då måste det gälla att ${\left(a^2+b^2\right)}^k={\left(a^2\right)}^k+\underset{\mathrm{positiva} \mathrm{termer}}{\underbrace{ \cdots }}+{\left(b^2\right)}^k$. Vi kan ta bort dessa positiva termer, och får då ett mindre vänsterled.

Då kan vi sluta oss till att ${\left(a^2\right)}^k+{\left(b^2\right)}^k<{\left(c^2\right)}^k$, och därmed att $a^n+b^n<c^n$. Det är inte vackert, men det fungerar.

Summa kardemumma hänger jag nog med, men inte på hur jag förstår det genom binomialsatsen. Summan av ”positiva termer” borde bli mindre än differensen mellan c^n och (a^n + b^n), men hur ser jag det? 

Vi kan utveckla med hjälp av binomialsatsen om k är ett heltal, men det är nog lättare att tänka att bara tänka att alla termer i utvecklingen av ${(a^2+b^2)}^k$ kommer att vara positiva.

Om k är ett heltal: 

${(a^2+b^2)}^k=\sum _{i=0}^k\left(\begin{array}{c}k\\ i\end{array}\right){\left(a^2\right)}^i·{\left(b^2\right)}^{k-i}$

Eftersom både $a^2$ och $b^2$ är positiva, kommer alla termer i summan att vara positiva. Vi visste att vi med hjälp av Pythagoras sats kunde sluta oss till att ${(a^2+b^2)}^k={\left(c^2\right)}^k$. Nu vet vi att alla termer i ett utvecklat VL kommer att vara positiva. Vi kan därför med gott samvete plocka bort termer från VL, utan att av misstag råka plocka bort någon negativ term, och därigenom råka göra VL större. Om vi tar bort från VL blir VL alltid mindre, då alla termer som sagt är positiva, och vi kan nu plocka bort termer tills vi är kvar med endast 

${\left(a^2\right)}^k+{\left(b^2\right)}^k<{\left(c^2\right)}^k$

:)

EDIT: Nevermind, jag läste inte hela Dr. G's inlägg...