Matte spets uppgift

Skulle någon kunna beskriva hur man gör den här uppgiften?

1. Betrakta ekvationen x² + 4xy = A, där A är ett givet heltal.

(a) Visa att ekvationen saknar heltalslösningar (x, y) om A = 26.
(b) Bestäm samtliga heltalslösningar (x, y) då A = 52.

Välkommen till Pluggakuten!

Ekvationen kan skrivas $x\cdot(x+4y) = A$ .

Om $x$ är ett jämnt tal så är $x+4y$ också ett jämnt tal och då är $x\cdot (x+4y)$ delbart med 4.
Om $x$ är ett udda tal så är $x+4y$ ett udda tal och då är $x\cdot (x+4y)$ också ett udda tal.
Talet $A=26$ är ett jämnt tal som inte är delbart med 4. Därför finns det varken jämna eller udda tal $x$ som uppfyller $x^2+4xy=26$ .
Talet $A=52$ är ett jämnt tal som är delbart med 4, så om ekvationen $x^2+4xy=52$ har heltalslösningar $(x,y)$ måste $x$ vara jämnt tal. Om $x=2n$ blir ekvationen

$4n^2+8ny=52 \Longleftrightarrow n\cdot(n+2y)=13.$

Talet 13 är primtal så om $y>0$ måste $n=1$ (som ger $x=2$ ) och därför $y=6$ .

Svara