Matte 5c Origo - Synvinkel

Prova att rita några trianglar och se om du kan uttrycka v som differensen mellan två vinklar i två olika rätvinklig trianglar. 

Som Dr. G skrev, rita en rätvinklig triangel till att börja med och märk ut det du vet.

Använd här additionsformeln för tangens:

     $\tan \left(v+w\right)=\frac{\tan \left(v\right)+\tan \left(w\right)}{1-\tan \left(v\right)\tan \left(w\right)}=\frac{1+1.5}{x}.$

Du vet även att $\tan \left(w\right)=1/x.$ Löser man ut $\tan \left(v\right)$ ur ovanstående samband och sätter in uttrycket för $\tan \left(w\right)$ så får man att

     $\tan \left(v\right)=\frac{5-2x\tan \left(w\right)}{5\tan \left(w\right)+2x}=\frac{5-2x·{\displaystyle \frac{1}{x}}}{5·{\displaystyle \frac{1}{x}}+2x}=\frac{3x}{2x^2+5}.$

Ta arctan av bägge led så ger det att $v=\arctan \left(\frac{3x}{2x^2+5}\right).$ Derivera funktionen $v$ och lös ekvationen $v\text{'}=0$, för $x$. Använd att derivatan för $\left(\arctan \left(\mathrm{\phi }\right)\right)\text{'}=1/\left({\mathrm{\phi }}^2+1\right).$ Tänk på att du måste använda kedjeregeln för att derivera.

Lirim.K skrev :

Som Dr. G skrev, rita en rätvinklig triangel till att börja med och märk ut det du vet.

Använd här additionsformeln för tangens:

     $\tan \left(v+w\right)=\frac{\tan \left(v\right)+\tan \left(w\right)}{1-\tan \left(v\right)\tan \left(w\right)}=\frac{1+1.5}{x}.$

Du vet även att $\tan \left(w\right)=1/x.$ Löser man ut $\tan \left(v\right)$ ur ovanstående samband och sätter in uttrycket för $\tan \left(w\right)$ så får man att

     $\tan \left(v\right)=\frac{5-2x\tan \left(w\right)}{5\tan \left(w\right)+2x}=\frac{5-2x·{\displaystyle \frac{1}{x}}}{5·{\displaystyle \frac{1}{x}}+2x}=\frac{3x}{2x^2+5}.$

Ta arctan av bägge led så ger det att $v=\arctan \left(\frac{3x}{2x^2+5}\right).$ Derivera funktionen $v$ och lös ekvationen $v\text{'}=0$, för $x$. Använd att derivatan för $\left(\arctan \left(\mathrm{\phi }\right)\right)\text{'}=1/\left({\mathrm{\phi }}^2+1\right).$ Tänk på att du måste använda kedjeregeln för att derivera.

Jag fick fram ett svar men det enda jag inte förstod var steget när man löste ut $\tan \left(v\right)$. Hur går man från $\tan \left(v+w\right)=\frac{\tan \left(v\right)+\tan \left(w\right)}{1-\tan \left(v\right)\tan \left(w\right)}=\frac{1+1.5}{x}$ till $\tan \left(v\right)=\frac{5-2x\tan \left(w\right)}{5\tan \left(w\right)+2x}=\frac{5-2x·{\displaystyle \frac{1}{x}}}{5·{\displaystyle \frac{1}{x}}+2x}=\frac{3x}{2x^2+5}$. Förstår hur man ersätter $\tan \left(w\right)$ med $\tan \left(w\right)=1/x$ men inte det första.

Visa hur du har försökt lösa ut tan(v) ur uttrycket $\frac{\tan \left(v\right) + \tan \left(w\right)}{1-\tan \left(v\right)\tan \left(w\right)} = \frac{2,5}{x}$ så fortsätter vi därifrån!

smaragdalena skrev :

Visa hur du har försökt lösa ut tan(v) ur uttrycket $\frac{\tan \left(v\right) + \tan \left(w\right)}{1-\tan \left(v\right)\tan \left(w\right)} = \frac{2,5}{x}$ så fortsätter vi därifrån!

Det jag gjorde var att multiplicera nämnaren med båda sidor och sedan ta minus tan (w).

Du kan kalla $\tan \left(v\right)=a$. Då får du ekvationen 

     $\frac{1+1.5}{x}=\frac{a+\tan \left(w\right)}{1-a\tan \left(w\right)}.$

Du vet nu också att $\tan \left(w\right)=1/x$, sätter man in detta så får man till slut

     $\frac{{\displaystyle \frac{5}{2}}}{x}=\frac{a+{\displaystyle \frac{1}{x}}}{1-a{\displaystyle \frac{1}{x}}}.$

Kan du lösa ut $a$ själv?

Lirim.K skrev :

Du kan kalla $\tan \left(v\right)=a$. Då får du ekvationen 

     $\frac{1+1.5}{x}=\frac{a+\tan \left(w\right)}{1-a\tan \left(w\right)}.$

Du vet nu också att $\tan \left(w\right)=1/x$, sätter man in detta så får man till slut

     $\frac{{\displaystyle \frac{5}{2}}}{x}=\frac{a+{\displaystyle \frac{1}{x}}}{1-a{\displaystyle \frac{1}{x}}}.$

Kan du lösa ut $a$ själv?

Yes! Nu det gick det. 

Tack.

Lirim.K skrev :

Du kan kalla $\tan \left(v\right)=a$. Då får du ekvationen 

     $\frac{1+1.5}{x}=\frac{a+\tan \left(w\right)}{1-a\tan \left(w\right)}.$

Du vet nu också att $\tan \left(w\right)=1/x$, sätter man in detta så får man till slut

     $\frac{{\displaystyle \frac{5}{2}}}{x}=\frac{a+{\displaystyle \frac{1}{x}}}{1-a{\displaystyle \frac{1}{x}}}.$

Kan du lösa ut $a$ själv?

Kan du hjälpa mig hur fick du svaret  tan(v)=5−2xtan(w)5tan(w)+2x=5−2x⋅1x5⋅1x+2x=3x2x2+5 ?

Jag har provat att lösa ut a med hjälp av din ekvation så här:

(2.5/x )*(1-a/x) = a+1/x

1-a/x = (x-a)/x (eftersom 1 =1/1) 

(2.5/x)(x-a)/x = a+1/x

(2.5x - 2.5a)/x = a+1/x

(2.5x-2.5a)/x - 1/x = a

(2.5x -2.5a -1)/x = a

????

Varför får jag ett så hemsk svar? 

 Du har fortfarande a i båda leden. Du skall försöka få fram a alldeles ensamt på ena sidan.

$$\begin{gathered} \frac{5}{2x} = \frac{a+{\displaystyle \frac{1}{x}}}{1-{\displaystyle \frac{a}{x}}} \\ \frac{5}{2x} = \frac{{\displaystyle \frac{ax+1}{x}}}{{\displaystyle \frac{x-a}{x}}} \\ \frac{5}{2x} = \frac{ax+1}{x-a} \\ 5(x-a) = 2x(ax+1) \\ 5x-5a = 2a{x}^2+2x \\ 3x = 2a{x}^2+5a \\ 3x = a(2x^2+5) \\ a = \frac{3x}{2x^2+5} \end{gathered}$$

smaragdalena skrev :

 Du har fortfarande a i båda leden. Du skall försöka få fram a alldeles ensamt på ena sidan.

$$\begin{gathered} \frac{5}{2x} = \frac{a+{\displaystyle \frac{1}{x}}}{1-{\displaystyle \frac{a}{x}}} \\ \frac{5}{2x} = \frac{{\displaystyle \frac{ax+1}{x}}}{{\displaystyle \frac{x-a}{x}}} \\ \frac{5}{2x} = \frac{ax+1}{x-a} \\ 5(x-a) = 2x(ax+1) \\ 5x-5a = 2a{x}^2+2x \\ 3x = 2a{x}^2+5a \\ 3x = a(2x^2+5) \\ a = \frac{3x}{2x^2+5} \end{gathered}$$

 Tack så mycket! 

smaragdalena skrev :

 Du har fortfarande a i båda leden. Du skall försöka få fram a alldeles ensamt på ena sidan.

$$\begin{gathered} \frac{5}{2x} = \frac{a+{\displaystyle \frac{1}{x}}}{1-{\displaystyle \frac{a}{x}}} \\ \frac{5}{2x} = \frac{{\displaystyle \frac{ax+1}{x}}}{{\displaystyle \frac{x-a}{x}}} \\ \frac{5}{2x} = \frac{ax+1}{x-a} \\ 5(x-a) = 2x(ax+1) \\ 5x-5a = 2a{x}^2+2x \\ 3x = 2a{x}^2+5a \\ 3x = a(2x^2+5) \\ a = \frac{3x}{2x^2+5} \end{gathered}$$

 Vet ni hur deriverar man arctan(3x/(2x^2+5)). Jag har aldrig lärt i skolan hur deriverar man arctan.

Kan man göra arctan(f'(x))? för att derivera funktionen v? f'(x) menar jag derivatan av 3x/(2x^2+5) 

ㅇㅇ

Kollade just att det inte finns med någon primitiv funktion till arc tan x på formelbladet för Ma5.

Förmodligen får du göra en numerisk beräkning.

En metod, för att slippa använda funktionen arctan är följande. Betrakta figuren nedan.

Låt $AB=x$. Då gäller det att $AC=\sqrt{x^2+1}$ enligt Pythagoras sats. Dessutom gäller det att $AD=\sqrt{x^2+{\left(1+3/2\right)}^2}=\sqrt{x^2+25/4}.$ Eftersom triangeln $ABD$ är rätvinklig så gäller det att

     $\sin \left(w\right)=\frac{x}{\sqrt{x^2+{\displaystyle \frac{25}{4}}}}.$

Sinussatsen på triangeln $ACD$ ger att

     $\frac{\sin \left(v\right)}{{\displaystyle \frac{3}{2}}}=\frac{\sin {\displaystyle \left(w\right)}}{\sqrt{x^2+1}}=\frac{x}{\sqrt{\left(x^2+{\displaystyle \frac{25}{4}}\right){\displaystyle \left(x^2+1\right)}}}=f\left(x\right)$.

Ju större $f\left(x\right)$ är desto större är vinkeln $v$. För att derivera enklare kan du till att börja med kvadrera båda led så att du får

     ${\left(\frac{2\sin \left(v\right)}{3}\right)}^2=f^2\left(x\right)=\frac{3x^2}{2\left(x^2+{\displaystyle \frac{25}{4}}\right)\left(x^2+1\right)},$

Derivatan blir

     $\left(f^2\left(x\right)\right)\text{'}=-\frac{8x\left(2x^2-5\right)\left(2x^2+5\right)}{\left(x^2+1\right)\left(4x^2+25\right)}.$

Teckenstudium och lösning av ekvationen $\left(f^2\left(x\right)\right)\text{'}=0$ ger att funktionen är störst då $x=\sqrt{5/2}.$ Sätter du in detta så får du att

     ${\left(\frac{2\sin \left(v\right)}{3}\right)}^2=f^2\left(\sqrt{\frac{5}{2}}\right)=\frac{4}{49}\Rightarrow \sin \left(v\right)=\frac{3}{7}\Rightarrow v=\arcsin \left(\frac{3}{7}\right)\approx 25,{38}^{°}.$

Samma svar fås av metoden i tidigare inlägg som använder tangens och arctan funktionerna.

Hej !

Jag sitter här och har samma uppgift och jag undrade om du kunde skicka till mig via mail va du kom fram till. Skulle uppskatta det så mycket !

fofo123 skrev:

Hej !

Jag sitter här och har samma uppgift och jag undrade om du kunde skicka till mig via mail va du kom fram till. Skulle uppskatta det så mycket !

Jag tycker det finns ett antal bra ledtrådar i denna tråd för att kunna komma igång med.

Om det är någon specifik del du kör fast på är det bara att fråga så kan vi hjälpa till.

AlvinB skrev:

fofo123 skrev:

Hej !

Jag sitter här och har samma uppgift och jag undrade om du kunde skicka till mig via mail va du kom fram till. Skulle uppskatta det så mycket !

Jag tycker det finns ett antal bra ledtrådar i denna tråd för att kunna komma igång med.

Om det är någon specifik del du kör fast på är det bara att fråga så kan vi hjälpa till.

Det jag inte förstår är hur långt från skylten ska man placera sig för att se hela skylten.  

Uppgiftens frågeställning är ju inte att du skall placera sig så att du ser hela skylten (det gör du så länge du inte står precis under den), utan den är hur du ska placera dig för att synvinkeln $v$ skall bli så stor som möjligt.

Läs igenom Lirim.K:s inlägg och se om du förstår något av angreppssätten för att lösa problemet.

fofo123 skrev:

Hej !

Jag sitter här och har samma uppgift och jag undrade om du kunde skicka till mig via mail va du kom fram till. Skulle uppskatta det så mycket !

Det är inte tillåtet enligt Pluggakutens regler. All hjälp sker via forumet - och meningen med Pluggakuten är att du skall få den hjälp du behöver för att kunna lösa dina uppgifter själv, inte att någon annan skall göra dina läxor åt dig. /moderator

Smaragdalena skrev:

fofo123 skrev:

Hej !

Jag sitter här och har samma uppgift och jag undrade om du kunde skicka till mig via mail va du kom fram till. Skulle uppskatta det så mycket !

Det är inte tillåtet enligt Pluggakutens regler. All hjälp sker via forumet - och meningen med Pluggakuten är att du skall få den hjälp du behöver för att kunna lösa dina uppgifter själv, inte att någon annan skall göra dina läxor åt dig. /moderator

Jag behövde bara hjälp med uppgiften, jag blev bara förvirrad för att det är två olika svar som ni har presenterat, så klart man vill ha den rätta i och med att man har svårt med uppgiften !!!!

fofo123 skrev:

AlvinB skrev:

Visa föregående citat

fofo123 skrev:

Hej !

Jag sitter här och har samma uppgift och jag undrade om du kunde skicka till mig via mail va du kom fram till. Skulle uppskatta det så mycket !

Jag tycker det finns ett antal bra ledtrådar i denna tråd för att kunna komma igång med.

Om det är någon specifik del du kör fast på är det bara att fråga så kan vi hjälpa till.

Det jag inte förstår är hur långt från skylten ska man placera sig för att se hela skylten.  

Hej igen !

Om du kollar på andra frågan så står det hur långt från skylten du måste placera dig för att vinkeln v ska bli så stor som möjligt, jag fick svar att v är 25,37 grader men svaret är inte klar än 

Hej igen 

Jag väcker upp den här tråden igen

jag har problem med samma grej. Saken är det jag fick som svaret v=22.33°. Jag vet hur jag gjorde fel.

först och främst använde jag av samma sak som Liriams första post där tan(v+w) och kunde räkna fram a väldigt enkelt. Därefter ska jag räkna ut x vilket var det kluriga så jag gjorde så jag använde mig av (Derivatan i kvot) för att beräkna ut x och satte v’=0. Jag kom fram till x=√(5/6) och sedan satte in i a formen och sedan kom jag fram till v=22,33 det känns på något sätt fel. 

Vad fick du v'  till?
Visa dina beräkningar.

Så jag gjorde så här att jag deriverade tan(v’)=3x/(2x^2+5)

Genom derivata med kvot

och fick tan(v’)=-6x^2+5/(2x^2+5)^2

därefter försökte jag lösa ut x med att v’=0

Wcero skrev:

Så jag gjorde så här att jag deriverade tan(v’)=3x/(2x^2+5)

Genom derivata med kvot

och fick tan(v’)=-6x^2+5/(2x^2+5)^2

därefter försökte jag lösa ut x med att v’=0

Jag förstår inte vad dina beteckningar betyder. Vad betyder "tan(v')"? Är v' en konstant eller en variabel?

Jag uppfatta det som en variabel och själva uppgift skulle man inte använda sig av tangent?

Eller så här menar jag v’=arctan(-6x^2+5/(2x^2+5))

Hur kom du fram till denna derivatan och vart kom 3x, upphöjt till 2 ifrån alltså vart kom 3:an ifrån? 

Lirim.K skrev:

En metod, för att slippa använda funktionen arctan är följande. Betrakta figuren nedan.

Låt $AB=x$. Då gäller det att $AC=\sqrt{x^2+1}$ enligt Pythagoras sats. Dessutom gäller det att $AD=\sqrt{x^2+{\left(1+3/2\right)}^2}=\sqrt{x^2+25/4}.$ Eftersom triangeln $ABD$ är rätvinklig så gäller det att

     $\sin \left(w\right)=\frac{x}{\sqrt{x^2+{\displaystyle \frac{25}{4}}}}.$

Sinussatsen på triangeln $ACD$ ger att

     $\frac{\sin \left(v\right)}{{\displaystyle \frac{3}{2}}}=\frac{\sin {\displaystyle \left(w\right)}}{\sqrt{x^2+1}}=\frac{x}{\sqrt{\left(x^2+{\displaystyle \frac{25}{4}}\right){\displaystyle \left(x^2+1\right)}}}=f\left(x\right)$.

Ju större $f\left(x\right)$ är desto större är vinkeln $v$. För att derivera enklare kan du till att börja med kvadrera båda led så att du får

     ${\left(\frac{2\sin \left(v\right)}{3}\right)}^2=f^2\left(x\right)=\frac{3x^2}{2\left(x^2+{\displaystyle \frac{25}{4}}\right)\left(x^2+1\right)},$

Derivatan blir

     $\left(f^2\left(x\right)\right)\text{'}=-\frac{8x\left(2x^2-5\right)\left(2x^2+5\right)}{\left(x^2+1\right)\left(4x^2+25\right)}.$

Teckenstudium och lösning av ekvationen $\left(f^2\left(x\right)\right)\text{'}=0$ ger att funktionen är störst då $x=\sqrt{5/2}.$ Sätter du in detta så får du att

     ${\left(\frac{2\sin \left(v\right)}{3}\right)}^2=f^2\left(\sqrt{\frac{5}{2}}\right)=\frac{4}{49}\Rightarrow \sin \left(v\right)=\frac{3}{7}\Rightarrow v=\arcsin \left(\frac{3}{7}\right)\approx 25,{38}^{°}.$

Samma svar fås av metoden i tidigare inlägg som använder tangens och arctan funktionerna.

f(x) <- är X'et samma X som i avståndet från Skylten?

Hur blir derivatan negativ?