Matte 5000+: komplexa tal: uppg. 4319a)

Finn de komplexa tal $z$ som uppfyller ekvationen $z^3=64$.

Lösningssteg

1. Skriv talet 64 som ett komplext tal på polär form: $64=64(\cos(0)+i\cdot\sin(0))$
2. Ansätt $z=r(\cos(v)+i\cdot\sin(v))$
3. Vi får då enligt de Moivres formel att $z^3=r^3(\cos(3v)+i\cdot\sin(3v))$
4. Ekvationen blir därför $r^3(\cos(3v)+i\cdot\sin(3v))=64(\cos(0)+i\cdot\sin(0))$
5. Lösningarna ges nu av $r^3=64$, dvs $r=4$ och $3v=0+n\cdot2\pi$, dvs $v=n\cdot\frac{2\pi}{3}$

Kommer du vidare då?

Yngve skrev:

Finn de komplexa tal $z$ som uppfyller ekvationen $z^3=64$.

Lösningssteg

1. Skriv talet 64 som ett komplext tal på polär form: $64=64(\cos(0)+i\cdot\sin(0))$
2. Ansätt $z=r(\cos(v)+i\cdot\sin(v))$
3. Vi får då enligt de Moivres formel att $z^3=r^3(\cos(3v)+i\cdot\sin(3v))$
4. Ekvationen blir därför $r^3(\cos(3v)+i\cdot\sin(3v))=64(\cos(0)+i\cdot\sin(0))$
5. Lösningarna ges nu av $r^3=64$, dvs $r=4$ och $3v=0+n\cdot2\pi$, dvs $v=n\cdot\frac{2\pi}{3}$

Kommer du vidare då?

Hej. Det gör jag. 

Jag undrar hur jag räknar ut då n=2

n= 0 ger dig v = 0

n = 1ger dig v = 2pi/3

n = 2 ger dig v = 4pi/3

Eller var det något annat du undrade?

Yngve skrev:

n= 0 ger dig v = 0

n = 1ger dig v = 2pi/3

n = 2 ger dig v = 4pi/3

Eller var det något annat du undrade?

Ja. Om du jämför, så kommer du till att se jag får inte till det. 

Jag vet inte hur jag tänker under n=3 ger:

Vilket värde har sinus för 2 pi? Vilket värde har cosinus för 2 pi?

Smaragdalena skrev:

Vilket värde har sinus för 2 pi? Vilket värde har cosinus för 2 pi?

Det första: 0 Det andra: 1

Varför har du då satt in -1 när du räknar på n = 3?

Smaragdalena skrev:

Varför har du då satt in -1 när du räknar på n = 3?

Sorry. Den ska tillhöra n=2:

n=3: Har ej börjat med för jag undrar vad är det jag tänker fel på 

$n=0$ ger dig lösningen $z=4(\cos(0)+i\cdot\sin(0))=4$

======

$n=1$ ger dig lösningen $z=4(\cos(\frac{2\pi}{3})+i\cdot\sin(\frac{2\pi}{3}))=$

$=4(-\frac{1}{2}+i\cdot\frac{\sqrt{3}}{2})=-2+i\cdot2\sqrt{3}$

=======

$n=2$ ger dig lösningen $z=4(\cos(\frac{4\pi}{3})+i\cdot\sin(\frac{4\pi}{3}))=$

$=4(-\frac{1}{2}+i\cdot (-\frac{\sqrt{3}}{2}))=-2-i\cdot2\sqrt{3}$

========

Om du tittar på enhetscirkeln så ser du att

• $n=3$ tar dig tillbaka till samma komplexa tal som du får av $n=0$
• $n=4$ tar dig tillbaka tll samma komplexa tal som du får av $n=1$

Och så vidare.

Du ser även att de komplexa lösningarna förekommer i komplexkonjugerade par som sig bör.