Matte 5, differentialekvationer
En fönstertermometer visar 5 C (grader i celsius). Den tas in i ett rum med temp. 18 C. När temp. stiger gäller att termometerns temperaturändring per tidsenhet är proportionellt mot differensen av termometerns och omgivningens temp. p-konstanten är 0.30 min^-1
a) inför beteckningen och ställ upp en differentialekvation för förloppet?
b) beräkna termometerns temp. efter 2 min?
a) Jag tänkte: y' = 0.30(y-18) och y(0) = 5 C. I facit däremot står det y' = - 0.30(y-18), alltså ett minustecken framför - varför? Det står att temperaturen stiger, varför sätter man då ett minustecken framför?
Tack på förhand!
Temperaturändring per tidsenhet proportionell mot differensen: y' = 0,30(y-18) är i huvudsak rätt, men som du märker kommer då y' att vara negativ när temperaturen y är mindre än 18°. I så fall sjunker temperaturen, vilket den inte skulle göra; den skulle stiga, och därför behövs ett minustecken framför.
Det här med tecken är lite knepigt, det som kan göra det lite enklare är att testa om din differentialekvation stämmer överens med det fysikaliska förloppet. Det som kommer hända är att temperaturen ökar fram tills att den når 18 grader då temperaturökningen blir noll. Din differentialekvation uppfyller det senare kriteriet, men vad är då ?
ES96 skrev :Det här med tecken är lite knepigt, det som kan göra det lite enklare är att testa om din differentialekvation stämmer överens med det fysikaliska förloppet. Det som kommer hända är att temperaturen ökar fram tills att den når 18 grader då temperaturökningen blir noll. Din differentialekvation uppfyller det senare kriteriet, men vad är då ?
Tack, förstod mycket bättre nu!
Men kommer detta gälla alla uppgifter, alltså att jag måste jämföra med det fysikaliska förloppet i uppgiften? I boken står det i ett exempel om avsvalning att "Eftersom temperaturen sjunker inför vi ett minustecken i ekvationen." Gäller detta alltid när det handlar om att något sjunker, eller varierar det?
Den kan bero på sammanhanget, men allmänt gäller att om en funktion avtar (något sjunker), så är dess derivata negativ.
HT-Borås skrev :Den kan bero på sammanhanget, men allmänt gäller att om en funktion avtar (något sjunker), så är dess derivata negativ.
Okej! Tack för hjälpen :-)
Om du hade valt att skriva din diffekvation som y' = 0,30(18-y) skulle du inte ha behövt någor minustecken. Ser du varför?
smaragdalena skrev :Om du hade valt att skriva din diffekvation som y' = 0,30(18-y) skulle du inte ha behövt någor minustecken. Ser du varför?
Eftersom y<18 kommer y'>0, och därmed stämmer det för förloppet. Stämmer det? :-)
Ja, och om temperaturen hade varit över 18 grader skulle parentesen (och därmed hela uttrycket) ha blivit negativ, så det skulle också ha stämt.
