Matte 5 Blandade övningar kap 1-4 uppg 46 - Oljetank volym

Hej, jag har suttit och kliat mig i håret en lång stund nu och kan inte komma på hur man ska lösa denna uppgiften.

Jag tänkte mig att jag kunde hitta ett uttryck för sidans area A(d) och dA/dd och därefter hitta något samband med volymens förändringshastighet, men jag hittar inget uttryck för arean. Jag har tyvärr inte kommit mycket längre än så. Var inne på lite olika spår, bland annat att uttrycka arean med cirkelsektorer eller cirkelns ekvation, men jag får det inte till att funka. Känns som att jag är ute och cyklar. Finns antagligen mycket enklare sätt som jag borde komma på. Har fått lite tunnelseende av att stirra på denna uppgiften för länge.

Hittar denna förklaringen i Matematik 5000-appen (se nästa bild), men jag fattar ingenting. Tycker att deras förklaring är väldigt kortfattad och opedagogisk. Någon som kan hjälpa mig att förstå? Jag är lite envis och gillar inte att överge uppgifter utan att förstå.

Jag håller på att göra en prövning på egen hand så har ingen lärare och inga klasskamrater att fråga. Detta funkade jättebra i ma3 och ma4 för att man alltid kunde hitta förklaringar till uppgifter online, men det finns inte mycket om ma5. Känner mig helt borta på många A-uppgifter. Därför vänder jag mig nu till folket på denna sidan och hoppas någon vänlig själ kan hjälpa mig.

Sidans area är ett cirkelsegment, d.v.s en cirkelsektor minus en triangel.

Om du drar två radier ner till oljeytans kanter och kallar halva vinkeln mellan radierna för alfa så får du

$A = \dfrac{R^2\cdot 2\alpha}{2}-\dfrac{R^2\cdot\sin( 2\alpha)}{2}=R^2 (\alpha- \sin \alpha \cos\alpha)$

Du har även att

$\cos \alpha= \dfrac{R-d}{R}$

och kan då räkna ut alfa och sin(alfa), vilket ger A(d) och V(d) = A(d)*L, där L = 2.44 m.

Kedjeregeln ger

$\dfrac{dV}{dt}= \dfrac{dV}{dd}\cdot\dfrac{dd}{dt}$

som ger dig dd/dt. Det borde efter halvjobbig derivering ge samma svar som facits "fullösning".

Tack för ditt svar!!

Jag hänger med på allt du skriver, cirkelsegmentets area, cos(alfa) = (R-d)/R och kedjeregeln, men jag förstår inte riktigt hur jag ska hitta A(d).

Arean av cirkelsegmentet beror ju på alfa medan jag behöver att den ska bero av d. Du skriver att jag kan räkna ut alfa, men jag förstår inte riktigt hur. Jag kan ju såklart sätta in värdet d = 0,32 och få fram A(0,32) samt V(0,32), men jag fattar inte riktigt hur det hjälper mig. Jag söker dV/dd, alltså jag behöver funktionen V(d) för att kunna derivera den och därefter sätta in d = 0,32.

Det enda jag kommer på är att uttrycka alfa i d och därmed få fram A(d), men då får jag en arcusfunktion: alfa = arccos((R-d)/R) och man har inte lärt sig hur man deriverar arcusfunktioner i gymnasiet.

Vad är det jag missar?

Tack!!

Man får att

$\cos \alpha = \dfrac{R-d}{R}$

så

$\sin \alpha = \sqrt{1-(\dfrac{R-d}{R})^2}=\sqrt{\dfrac{d}{R}(2-\dfrac{d}{R})}$

och

$\alpha = \arccos( \dfrac{R-d}{R})$

Det blir en arccos(...) i A(d), inte mycket att göra åt.

Okej! Lite märklig uppgift kan jag känna. Bokens författare har väl haft någon idé om hur man skulle lösa den med sina matte5-verktyg, men jag fattar fortfarande inte hur.

Din lösning var ju jättebra i all fall. Allting känns solklart nu i efterhand. Tack för hjälpen!

Det blir lite knepigt att fortsätta med detta analytiskt (men det går), så det är rätt smart av facit att använda att en liten volym dV i princip ger en höjdskillnad på dd enligt dV ≈ A(d)*dd, där A(d) är oljeytans area vid djup d.

Dock bör man väl egentligen använda produktregeln och få,

dV ≈ A(d)*dd + dA(d)*d

så det krävs en motivering till varför den andra termen kan strykas.

Tillägg: 1 maj 2022 23:48

Det här känns inte helt rätt:

dV ≈ A(d)*dd + dA(d)*d

så det är ett feltänk någonstans. Den sista termen kan inte bero på d.

Svara

Visa senaste svar