Matte 4c - Bevisa trigonometriska ettan på tre sätt med hjälp av enhetscirkeln

Hej Dexter,

Du kan skriva funktionen

    $f(x)=\sin^2x+\cos^2x,$

beräkna dess derivata och visa att funktionen $f(x)$ är konstant; konstanten får du som $f(0).$

Menar du så här?

$$\begin{gathered} f\text{'}\left(x\right)=2 \sin x - 2 \cos x \\ f\text{'}\left(0\right) = 2 \sin \left(0\right) - 2 \cos \left(0\right) \\ f\text{'}\left(0\right) =\hspace{0.17em}2 \times 0 - 2 \times 1 \\ f\text{'}\left(0\right) = 1 \end{gathered}$$

V.s.b. 

Löste den på det här sättet på papper, är det här sättet med att bevisa uppgiften rätt?

Hej Dexter,

Du beräknar derivatan fel.

Med hjälp av Kedjeregeln blir derivatan

    $f^\prime(x)=2\sin x \cos x-2\cos x\sin x,$

som är noll oavsett vad $x$ är. Sedan är det funktionsvärdet $f(0)$ som ska beräknas och inte derivatans värde $f^\prime(0)$.

Det känns som att jag har aldrig hört om Kedjeregeln, vi har inte gått igenom det i kursen än (Jag är i början av matte4c). Måste man använda kedjeregeln för att kunna bevisa uppgiften? Uppgiften vill att jag ska endast bevisa uppgiften med hjälp av enhetscirkeln! 

Ja, med denna metod måste du använda Kedjeregeln. Vill du inte använda mitt förslag är det upp till dig. Du kan ju se detta som ett tillfälle att lära dig Kedjeregeln. 

Jag ska använda din metod, det är alltid bra att lära mig nya saker och metoder som kan vara till hjälps i kommande situationer.

Om du känner till Produktregeln för derivering så kan  du använda den istället för Kedjeregeln; skriv bara $\sin^2x$ som produkten $\sin x\cdot \sin x$ och tillämpa Produktregeln. Du gör samma sak med cosinus-termen i summan.

Så ekvationen blir så här: Först löser man funktionen genom att sätta x= 0 som du sade. Sen deriverar man funktionen med hjälp av kedjeregeln.

$$\begin{gathered} f\left(x\right)={\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x \\ f\left(0\right)={\sin }^2\left(0\right)+{\cos }^2\left(0\right) \\ f\left(0\right) = 0 + 1 =\hspace{0.17em}1 \\ f\text{'}\left(x\right)=2 \sin x \cos x + 2 \cos x \sin x \end{gathered}$$

Men sen undrar jag om vad man ska göra sedan.... kan jag få lite hjälp om du är snäll? Ska jag sätta derivata funktionen = 1 eller vad ska jag göra?

Albiki skrev:

Om du känner till Produktregeln för derivering så kan  du använda den istället för Kedjeregeln; skriv bara $\sin^2x$ som produkten $\sin x\cdot \sin x$ och tillämpa Produktregeln. Du gör samma sak med cosinus-termen i summan.

även den regeln känner jag inte, jag har kollat på två video klip som förklarar vad dessa två metoder är. Jag tyckte att den första metoden var smidigare och lättare att förstå så jag tänker använda den. Förlåt mig om jag stör dig eller slösar din tid, det är så att den uppgiften har jag inte fått facit på och läraren sade att den kommer i provet så jag måste veta hur den lösas. 

Vilken mattebok använder du till Ma4, Dexters laboratorium?

Hej!

Den matteboken jag använder är en blå matte4c bok som heter "Matematik 5000".

Dexters laboratorium skrev:

Så ekvationen blir så här: Först löser man funktionen genom att sätta x= 0 som du sade. Sen deriverar man funktionen med hjälp av kedjeregeln.

$$\begin{gathered} f\left(x\right)={\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x \\ f\left(0\right)={\sin }^2\left(0\right)+{\cos }^2\left(0\right) \\ f\left(0\right) = 0 + 1 =\hspace{0.17em}1 \\ f\text{'}\left(x\right)=2 \sin x \cos x + 2 \cos x \sin x \end{gathered}$$

Men sen undrar jag om vad man ska göra sedan.... kan jag få lite hjälp om du är snäll? Ska jag sätta derivata funktionen = 1 eller vad ska jag göra?

Derivatan är fel. Jag har skrivit derivatan i ett tidigare inlägg i denna tråd, samt kommenterat beräkningen.

Om en funktion $f$ har en derivata som är noll överallt, vad säger detta om funktionen $f$?

Om funktionen f har en derivata som är noll, så kan det betyda att f(x) = en konstant... t.ex. 

F(x) = 3

F´(X) = 0

Dexters laboratorium skrev:

Hej!

Den matteboken jag använder är en blå matte4c bok som heter "Matematik 5000".

Då skall jag kolla i den och se i vilken ordning man går igenom olika saker.

EDIT nästa morgon: Man går igenom kedjeregeln på s 78. Den räcker för att derivera funktionen cos²x+sin²x. Produktregeln kommer betydligt senare.

Men är detta egentligen ett svar på frågan i boken? Kan man verkligen säga att ett bevis som bygger på derivatan av denna funktion är gjort med hjälp av enhetscirkeln?

Är uppgiften hämtad från matteboken Matematik 5000?

Ett annat tänkbart upplägg skulle kunna vara att man använder likformighet för att hitta $sec\left(v\right)$ och $\tan \left(v\right)$ i enhetscirkeln, Pythagoras sats för att bevisa ${\tan }^2\left(v\right)+1=se{c}^2\left(v\right)$ och sedan bevisar trigonometriska ettan därifrån.