Matte 4 - Hitta asymptoter för en funktion (sneda asymptoter)
hitta asymptoterna för funktionen
Funktionen är inte definerbar, då nämnaren är lika med 0.
För x = 1 har vi en lodrät asymptot (gränsvärde) (x-1 = 0 1-1 = 0 ) ?
Jag tänker att för att hitta om det finns några ev. sneda eller horisontella asymptoter att man delar upp funktionen i termer för att se vilken term som dominerar då x går mot oändligheten (att x blir väldigt stort).
f(x) = x^2 / (x-1) + 2 /(x-1)
Då x -> oändligheten
f(x) = x^2 / (x-1)
f(1000) = 1000^2 / (1000-1) = 1001,001
f(x) = 2 / (x-1)
f(1000) = 2/ (1000-1) = 0,00200....
Jag tänker att det är x^2 / (x-1) termen som dominerar
Jag förstår inte hur jag ska tänka för att lista ut vad den sneda asymptoten är.
I min powerpoint står det att man ska räkna ut :
för att ta reda på den sneda asymptoten, men vad menar man då exakt? Jag vet att k är lutningen för en rät linje.
Jag tänker att då x närmar sig oändligheten, t.ex. x blir ett jättestort tal eller ett jättelitet tal att y närmar sig 0?
Ett enkelt sätt att hitta många sneda asymptoter är att använda polynomdivision. Då fås att
. Vad händer med bråkuttrycket i HL när x går mot oändligheten?
Smutstvätt skrev :Ett enkelt sätt att hitta många sneda asymptoter är att använda polynomdivision. Då fås att
. Vad händer med bråkuttrycket i HL när x går mot oändligheten?
Är det inte lättare att dela upp talet i termer och sedan se vad för term som dominerar för stora absolutbelopp av x, alltså då x går mot oändligheten?
x^2 / (x-1) + 2/(x-1)
Smutstvätt skrev :Ett enkelt sätt att hitta många sneda asymptoter är att använda polynomdivision. Då fås att
. Vad händer med bråkuttrycket i HL när x går mot oändligheten?
HL uttrycket går mot 0 när x -> oändligheten
3 / (1000-1) = 0,0030....
då vet man att det är VL uttrycket: x + 1 som dominerar då x -> oändligheten ( x = 1000 1000 +1 = 10001)
då vet man att det finns en sned asymptot i y = x + 1
Men hur utförde du din polynomdivision?
f(x) = x^2 + 2 / (x-1)
Jag får fram via polynomdivision att
f(x) = x^2 + 2 / (x-1) = x + 1
Hur kommer du fram till att f(x) = x + 1 + 3 / (x-1) ?
Att x^2 + 2 / (x-1) = x + 1 inte stämmer ser du lätt genom att multiplicera båda leden med x-1.
x går i (x^2) en gång. Det ger ett x som faktor och resten (x+2)
x går i x en gång, och vi får resten 3. Alltså kan uttrycket skrivas som (x+1+(3/(x-1))).
Smutstvätt skrev :
x går i (x^2) en gång. Det ger ett x som faktor och resten (x+2)
x går i x en gång, och vi får resten 3. Alltså kan uttrycket skrivas som (x+1+(3/(x-1))).
Om jag uppfattat det rätt:
x^2 + 2 kan faktoriseras till (x+1)*(x-1) +3
där 3 är restterm
f(x) = x^2 + 2 / (x-1) = (x+1) * (x-1) + 3
HL måste ha (x-1) som nämnare för att detta ska stämma.
f(x) = x^2 + 2 / (x-1) = (x+1) * (x-1) / (x-1) + 3 /(x-1) = x + 1 + 3 / (x-1)
f(x) = x + 1 + 3 / (x-1)
Nu kan man undersöka då lim x -> oändligheten.
lim x - > oändligheten för 3 / (x-1) då går funktionen mot 0 (denna term dominerar ej)
Det betyder att y = x + 1 är termen som dominerar då för stora x (då x går mot oändligheten)
Svar: Lodrät asymptot i x = 1 och sned asymptot i y = x +1
Ser bra ut!