Matte 4, bestäm maximal area
Hej, jag har en snabb fråga gällande följande uppgift.
Jag deriverade y, och fick -2xe^(x^2), sen så tog jag extrempunkt på derivatan, och får då 0,857764, på y koordinaten av denna extrempunkt, konstigt nog verkar y koordinaten på derivatans extrempunkt vara svaret för uppgiften. Jag antar att jag gjort fel på något sätt, men jag försöker bara förstå om detta enbart är en slump att det är samma värde på svaret. Eller om det finns något konkret med detta för att lösa uppgiften.
Jag hänger inte riktigt med här. Derivera y, varför? Då får du reda på att kurvan ligger högst för x = 0, eller?
Har du skapat ett uttryck för Arean, säg A(t), när rektangeln har hörn för x = ±t ?
Nja, såhär tänkte jag i början, rektangeln som skapas för maximal area borde ge två kvadrater en på vardera sida av y axeln, där man ska få så stort x värde som möjligt som uppfyller att det bildas exakta kvadrater på vardera sida. Då tänkte jag att denna plats verkar vara där lutningen för funktionen är maximal respektive mest negativ, jag vet inte riktigt varför men det känns logiskt för mig, ifall det ska bildas exakta kvadrater på varje sida. Så jag kollade på när man får maximal lutning som var på denna punkt: 
SVAR på uppgiften är just 0,857764 a.e vilket verkar vara samma som derivatans största värde och minsta värdes y koordinat
Aha.
Men i så fall behöver du visa att det är just kvadraten som ger maxarea, så kan det vara, men inget man kan ta för givet.
Om rektangeln har bredd 2t så är höjden f(t). Det ger att rektangelns area är
A(t) = 2t * e^(–t^2)
Det är uttrycket du ska derivera för att hitta max.
ja okej jag fattar just att det är så man ska göra. Tänkte bara se om någon såg korrelationen med det jag gjort och att man på så sätt kan få fram det rätta svaret. Eller om det bara är en slump att man får rätt svar jag fattar lixom inte hur rätt svar fås från f´(x) maximipunkts, y-koordinat
Jag tänker också att det inte är något som tas för givet eftersom det "korrekta sättet" också deriverar och hittar max , där tar man också för givet att svaret man får där på max area verkligen är max area
Hmm, jag hänger inte riktigt med. Men om vi kollar:
A(t) = 2t f(t)
A’(t) = 2f(t) + 2t f’(t)
Nu är f’(t) = – 2t f(t) så vi kan bryta ut f(t):
A’(t) = 2f(t) [1 – 2t^2] = 2 f(t) (1+ t sqr2) (1– t sqr2)
som ger att t = ± 1 /sqr2 är nollställen för derivatan.
Du söker punkter där lutningen för f har extremvärde. Där är andraderivatan noll:
f’(t) = 2t f(t)
f’’(t) = …
Just det! Derivatan av f ”råkar” vara samma uttryck som A. Så f’’ = A’.
Men detta beror ju på att det är just en rektangel vi stoppat in under kurvan.
Man kan nog föra ett resonemang om att närmare origo ökar rektangelns bredd mer än höjden avtar och att när kurvan lutar som brantast minskar höjden som mest och ökar bredden som minst. Men det känns långt mer komplicerat än att bara derivera och hitta nollställen.
