Matte 3c - lös olikheten 𝑓(𝑥) > 0

Mycket bra början! Om båda uttryck är positiva, eller båda uttryck är negativa, kommer olikheten att stämma. När är $x^2$ positivt? När är $x^2-8$ positivt? :)

Bra början.

För att A*B > 0 så måste både A och B ha samma tecken.

Kommer du vidare då?

Så länge talet x är lika med eller större än 3 och -3 så kommer f(x) vara större än 0

Hmm, kan du visa hur du kommer fram till det?

Om jag t.ex. väljer att x=3 så blir sambandet:

x² (x² - 8) > 0

3²( 3² - 8) > 0 

9 ( 9 -8 ) > 0

9 * 1 > 0

9 > 0

Och om jag väljer t.ex. -3 eller mindre tal så kommer f(x) att blir större än noll, eftersom ett negativt tal upphöjd till 2 blir alltid positiv.

och om du väljer 2,9?

Ja OK, alla $x\geq3$ och alla $x\leq -3$ uppfyller villkoret.

Men det finns även fler värden på x som uppfyller villkoret. Kan du hitta alla?

kanske 

x > 2 

-2 < x < 0

Det är inte heltal som sökes.

 Nu känns det som att du bara gissar.

Är du med på att för att $x^2(x^2-8)>0$ så måste antingen gälla att

både $x^2>0$ och $x^2-8>0$

eller att

både $x^2<0$ och $x^2-8<0$?

Om ja, kan du då lösa dessa enklare olikheter algebraiskt?

Kanske så ska jag göra på det här sättet:

x² > 0

x > 0

x² - 8 > 0

x² > 8

x > (+)(-)$\sqrt{8}$

Dexters laboratorium skrev:

Kanske så ska jag göra på det här sättet:

x² > 0

x > 0

 

x² - 8 > 0

x² > 8

x > (+)(-)$\sqrt{8}$

Såja, nu börjar det likna något.

Men den första olikheten har lösningarna $x>0$ och $x<0$.

Och den andra ekvationen har lösningarna $x>\sqrt{8}$ och ...?

x < $-\sqrt{8}$

Ja det stämmer.

Kan du sätta ihop det hela till en kortare beskrivning av kraven på $x$?

$$\begin{gathered} 0 < x < -\sqrt{8} \\ 0 > x > \sqrt{8} \end{gathered}$$

Dexters laboratorium skrev:

$$\begin{gathered} 0 < x < -\sqrt{8} \\ 0 > x > \sqrt{8} \end{gathered}$$

Ditt första villkor säger att $x$ ska vara större än 0 och samtidigt mindre än $-\sqrt{8}$. Det går inte 

Ditt andra villkor säger att $x$ ska vara mindre än 0 och samtidigt större än $\sqrt{8}$. Det går inte heller.

Vi backar lite.

Olikheten $x^2>0$ innebär helt enkelt att $x\neq0$, dvs den är uppfylld för alla $x$ som inte är lika med 0.

Olikheten $x^2-8>0$ är uppfylld dels för alla $x>\sqrt{8}$, dels för alla $x<-\sqrt{8}$. Båda dessa olikheter uppfyller $x\neq0$.

Det sammanlagda villkoret på $x$ blir alltså att $x>\sqrt{8}$ eller $x<-\sqrt{8}$.

Du får gärna rita en graf över $y=x^2$ och med hjälp av den lösa olikheten $x^2-8>0$, dvs $x^2>8$. Då framgår det tydligt.

Tack så mycket. Jag är väldigt tacksam!

Varsågod, men du böŕ även visa varför det andra alternativet, dvs $x^2<0$ och $x^2-8<0$, inte ger någon lösning.