Matte 3c - Bestämning av konstant a och b samt extremvärdets karaktär

Vilken slags funktion är derivatan?

Vad vet du om derivatan då x = 2?

Derivatan blir:

12a - 4b ?

Jag sätter in 2:an i derivata formeln:

f'(2)= 3ax² - 2bx

f'(2)= 3a(2)² - 2b2

f'(2) = 12a - 4b

Bedinsis skrev:

Vilken slags funktion är derivatan?

Om jag fattar vad du menar, så frågar du om derivatan har en max eller min punkt, jag tror den har en max punkt eftersom 6:an är positiv.

Nej.

Jag frågar vilken slags funktion som derivatan är. Trigonometrisk, linjär, något annat?

Den borde vara en kurva, eftersom den är en andragrads funktion!

Ja.

Och andragradsfunktioner har en del egenskaper som du förhoppningsvis känner till och kan utnyttja för att lösa uppgiften.

Den har extrempunkter.

Och den extrempunkten är vid y=6 tror jag.

Jag försöker lösa uppgiften men jag kan inte komma på hur man löser den. Kan du snälla ge några ledtråd som kan hjälpa mig komma till svaret? 

Du vet att du har en andragradsfunktion, f(x)=ax²+bx+c. Du vet att f(2)=6 och att detta är ett extremvärde.

Vad är derivatan av f(x), d v s f'(x)? Vilket värde har f'(2)?

f(2)= 6

f'(2) = 0

eftersom derivatan av en konstant är 0.

Vad är derivatan av f(x)=ax²+bx+c?

f'(x) = 2ax + b

Dexters laboratorium skrev:

f(2)= 6

f'(2) = 0

eftersom derivatan av en konstant är 0.

Funktionen f(x) är inte en konstant, däremot är derivatan = 0 i en maximi-eller minimipunkt.

Jag jag fattar vad du menar nu. Men hur ska jag fortsätta då?

Så jag förstår av det du säger. Att extremvärdet 6 är precis där max-punkten på grafen, når och då är x=2 symmetri punkten där symmetri linjen som delar linjen upp finns!

Oj, jag har visst läst fel på uppgiften. Det var ju en tredjegradsfunktion, inte andragradsfunktion som jag trodde.

f'(2) = 0 = 3a*2*2+2b*2 så b =-6a

f(2) = 6 = 3*2³+6b*2²+2 ger ett värde på b

Kommer du vidare?

Så ska vi använda ett ekvations system nu?

Där vi jämför den första ekvationen med den andra för att lista ut vad a och b är lika med.

Smaragdalena skrev:

f'(2) = 0 = 3a*2*2+2b*2 så b =-6a

f(2) = 6 = 3*2³+6b*2²+2 ger ett värde på b

Kommer du vidare?

Du behöver inget ekvationssystem.

Jag försöker lösa den just nu.

f(2) = 6 = a(2)³- b(2)² + 2

f(2) = 6 = 8a - 4b +2

8a -4b = 4

f'(2) = 0 = 12a - 4a

f'(2) = 0 = 4a - b

$\left\{\begin{array}{l}8a - 4b = 4\\ (3a - b = 0 )* -4\end{array}\right.$

$\left\{\begin{array}{l}8a-4b=4\\ -12a+4b=0\end{array}\right.$

-4a = 4

a= -1

genom att sätta in värdet på a i en av ekvationerna ovan kan värdet på b räknas.

8a - 4b = 4

8*(-1)-4b = 4

-8 - 4b = 4

- 4b = 4 + 8

- 4b = 12

b = -3

Så värdet på a= -1 och värdet på b= -3

Jag lyckades göra på det här sättet i alla fall.

Jag fyllde in värdera som jag fick i det originala funktionen. 

𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥3 − 𝑏𝑥2 + 2

f(x) = (-1)*X3 -(-3)*X2 + 2

f(x) = -1X3 + 3X2 +2

Och när jag ritar grafen på graf ritaren får jag en max- och min-punkt. min-punkten har koordinaterna (0,2) och max-punkten har koordinaterna (2,6).

Tror du att jag har fått rätt nu?

Jag uppskattar ditt hjälp!

Har du fått fram allt man frågade efter?

1. Funktionen innehåller 2 olika konstanter. Derivatan innehåller också två konstanter.
2. Du vet att derivatan är 0 när x = 2, eftersom det är ett extremvärde. Derivatan ger att samband mellan a och b.
3. Använd detta samband för att få ett uttryck för funktionen som bara innehåller en enda variabel. Lös ut den.

(Om man vill kan man se detta som att man löser ett ekvationssystem  med substitutionsmetoden, så då var det fel av mig att skriva att man inte behöver lösa ett ekvationssystem, men det KÄNDES inte så, tyckte jag,)

Tack för din hjälp, jag uppskattar det väldigt mycket!