Matte 3b uppgift 2434

Jag tror det är bra om du tar ett steg tillbaka och lär dig logaritmlagarna först ordentligt. Då kommer du enkelt att förstå varför $10 = e^{ln(10)}$.

https://www.matteboken.se/lektioner/matte-2/logaritmer/logaritmlagarna

Du har rätt, jag ska kolla upp allt! TACK

Har gått igenom alla tre lagarna och ingenting säger sig om detta problem, tack för den ,,,  kan man inte få lite riktig hjälp här nån gång, alla ska ju bara hänvisa en vidare, kan ni inte förklara istället? Är ju ute efter att lära mig.

De här kanske också ger nåt:

https://www.matteboken.se/lektioner/matte-3/derivata/den-naturliga-logaritmen 

https://www.matteboken.se/lektioner/matte-2/logaritmer/tiologaritmer 

Talet e är intressant. Det är lätt att memorera 15 decimaler 2,7 1828 1828 45 90 45 vilket jag inte har en aning om varför man ska känna till. Det är knappast något att prata om vid kaffepausen och när man räknar så trycker man bara på e på sin dosa eller dator, men kanske kan vara kul någon gång 😀
Det som är lite speciellt är också att $e^{\left(\ln x\right)}=x$dvs. om vi upphöjer 2,71828... till ln(x) där x är ett positivt tal större än noll, så blir det just det talet.
Förr när inte datorer och räknare fanns, använde man tabeller till logaritmer och naturliga logaritmen ln, hade egna tabeller.

Om du skriver in $y=e^{\ln \left(x\right)}$i din räknare eller ett grafritarprogram så får du en rät linje med lutningen 1.
Om du också skriver in $y=\ln \left(x\right)$så får du en kurva under den räta linjen.

Den kurvan motsvarar det som fanns i de logaritmiska tabellerna för den naturliga logaritmen.
Så om du väljer ett värde x t.ex. 10 och skriver ln10 på din räknare så får du 2,302585...
Tittar du på graferna så ser du att på den räta linjen så får du y-värdet 10 och om du stegar ner på kurvan under så har du 2,302585...

Så $e^{\left(\ln x\right)}=y_1$och  $e^x=y_2$vilket är ekvivalent med att $x=\ln \left(y_2\right)$

Kanske inte direkt svar på din fråga, men förhoppningsvis ger det dig en inblick i den naturliga logaritmen?
Varför den är så användbar kommer lite senare i dina studier.

Edit: Jag såg att det blev rörigt med x och y, men hoppas att det går att tyda med lite vilja. Därför lade jag också till ett index till y₁ och y₂  

för alla logaritmer, oberoende av bas, gäller att:

$a^{{\log }_a\left(x\right)}=x$

Där a är basen (e eller 10 i dina exempel)

log_a indikerar vilken bas kogaritmen gäller för. ln har basen e och lg har basen 10

e^ln(10)= 10 följer direkt av ovanstående

Tack ConnyN! Har suttit sen jag skrev om hjälp, har lyckats få en mycket större förståelse, riktigt intressant faktisk!! 

När det gäller t.ex. $e^{ln(x)}=x$ eller $ln(e^x)$, eller för den delen t.ex. $10^{log(x)}=x$ kan du tänka att funktionen e upphöjt till (e^) och ln() är varandras motsatser och de tar ut varandra i fallen ovan. (På matematikspråk är de varandras inverser).

Ett annat sätt att tänka på $e^{ln(10)}$ är att det är själva definitionen på logaritmen. "Vad ska jag ta e upphöjt till för att få 10?". Jo det är just ln(10).

Jag skulle förklara så här:

Man kan börja med att tänka att vi vill skriva om $e^{-0.345x}$ till ${10}^y$, dvs så att $e^{-0.345x}={10}^y$. Men vad ska y vara? Ett steg på vägen att få veta det vore ju om vi kunde kunde skriva om 10 som $e^{en grej}$. Men vad ska en grej vara? Jo, en naturlig logaritm!

Logaritmer funkar ju så att om jag upphöjer en bas (till exempel e) till logaritmen för ett tal (till exempel 10) så får man talet. Alltså är $e^{\ln 10}=10$. Nu kan jag byta ut 10 mot $e^{\ln 10}$ i ekvationen jag skrev innan och använda potenslagarna.

$e^{-0.345x}={10}^y={\left(e^{\ln 10}\right)}^y=e^{\ln 10*y}$

Nu har vi en ekvation med e upphöjt till två olika uttryck. För att den ska bli lika kan måste exponenterna vara lika. Då kan vi skriva:

$-0.345x=\ln 10*y$

Men vi vill ju veta vad y är, så då dividerar vi båda led med ln10:

$$\begin{gathered} -0.345x=\ln 10*y \\ \frac{-0.345x}{\ln 10}=y \\ \frac{-0.345}{\ln 10}x=y \end{gathered}$$

Och om du beräknar $\frac{-0.345}{\ln 10}$ på miniräknare så får du -0,15

Tack för all hjälp! detta var lärorikt 

SvanteR skrev:

Jag skulle förklara så här:

Man kan börja med att tänka att vi vill skriva om $e^{-0.345x}$ till ${10}^y$, dvs så att $e^{-0.345x}={10}^y$. Men vad ska y vara? Ett steg på vägen att få veta det vore ju om vi kunde kunde skriva om 10 som $e^{en grej}$. Men vad ska en grej vara? Jo, en naturlig logaritm!

Logaritmer funkar ju så att om jag upphöjer en bas (till exempel e) till logaritmen för ett tal (till exempel 10) så får man talet. Alltså är $e^{\ln 10}=10$. Nu kan jag byta ut 10 mot $e^{\ln 10}$ i ekvationen jag skrev innan och använda potenslagarna.

$e^{-0.345x}={10}^y={\left(e^{\ln 10}\right)}^y=e^{\ln 10*y}$

Nu har vi en ekvation med e upphöjt till två olika uttryck. För att den ska bli lika kan måste exponenterna vara lika. Då kan vi skriva:

$-0.345x=\ln 10*y$

Men vi vill ju veta vad y är, så då dividerar vi båda led med ln10:

$$\begin{gathered} -0.345x=\ln 10*y \\ \frac{-0.345x}{\ln 10}=y \\ \frac{-0.345}{\ln 10}x=y \end{gathered}$$

Och om du beräknar $\frac{-0.345}{\ln 10}$ på miniräknare så får du -0,15

SvanteR !!! Den bästa förklaringen ju ! grym du är. Ska faktisk skriva ut de där och sätta in i mitt formel blad :)