Matte 2b uppgift 3150

1. Hitta nollställen.

För att hitta nollställena använder vi oss av pq-formeln. Vi sätter $p\left(x\right)=0$, alltså $x^2-2x-15=0$, detta då vi vill hitta för vilka värden funktionen är lika med 0.

Insättning i pq ger:

$x=-\frac{(-2)}{2}\pm \sqrt{{\left(\frac{-2}{2}\right)}^2-(-15)}$, förenklar vi allt så får vi 

$x=1\pm \sqrt{1+15}=1\pm \sqrt{16}=1\pm 4$.

Rötterna blir alltså:

$$\begin{gathered} x_1=-3 \\ {x}_2=5 \end{gathered}$$

2. Bestäm extrempunktens koordinat.

Vi börjar med att komma ihåg att extrempunkten ligger mitt emellan funktionens nollställen. Inte i y-led, utan i x-led, i andra ord inte på höjden utan på bredden. Så man kan tänka på det som nollställenas medelvärde. För att beräkna detta adderar vi nollställena och delar sedan på 2, alltså:

$\frac{-3+5}{2}=1$.

Vi vet nu att funktionens extrempunkt ligger i x=1, för att få fram y-värdet sätter vi in x=1 i funktionen, och får då:

$p\left(1\right)={\left(1\right)}^2-2\left(1\right)-15=-16$.

Detta ger oss att extrempunktens koordinat är $(1,-16)$. 

3. Bestäm den linjens ekvation

Vi börjar med att bestämma det högra nollställets koordinat. Vi vet att det hade x-värdet 5, men vi vet också att alla nollställen, per definition har y-värdet 0. Vi har alltså att det högra nollställets koordinat är $(5,0)$.

Vi har nu de två punkterna vi behöver, $(1,-16)$ och $(5,0)$. Vi börjar med att bestämma linjens k-värde.

$k=\frac{-16-0}{1-5}=\frac{-16}{-4}=4$.

Vi har alltså att 

$y=4x+m$

Nu väljer vi en av punkterna för att få fram m-värdet. Jag väljer $(5,0)$, vilket ger:

$$\begin{gathered} 0=4\left(5\right)+m=20+m \\ \Rightarrow m=-20 \end{gathered}$$

Vilket ger oss att linjen vi söker är

$y=4x-20$.