Matte 1 problem (Matematik/Matte 1/Algebra)

Jag tror inte detta riktigt går att läsa sig till, utan det uppgiften i första hand testar är din problemlösningsförmåga, dvs. hur du hanterar ett problem som du inte direkt vet hur du ska lösa.

Ett bra första steg är att testa med några konkreta exempel (dvs. sätt in olika värden på B, och se vad som händer när B dubbleras) för att få en förståelse för problemet. Ökar eller minskar A när B dubbleras i just de här exemplen? Kan du hitta en förklaring som gäller för alla positiva tal B?

Det här är aritmetik!

Eller egentligen är det precis som oggih säger. Om du vill veta vilken av förmågorna kommunikation problemlösning och resonemang som de olika poängen ger. Du kan kolla i facit. Tex Cp betyder en C-poäng för problemlösning

Som sagt ett bra sätt är att testa.

Test med positiva hela tal ger ganska snart en bra bild av vad som händer.

Det som är viktigt att ta med dig i framtiden är hur talet förändras med nämnaren.

Nu ska du inte testa med digitala verktyg står det, men i det här fallet kan det vara lärorikt att prova först med räknare utan att dubblera B.

1) Vad händer när B är mindre än 1, men större än noll?
2) Vad händer när B är ett litet tal t.ex. 1, 2 eller 3.
3) Vad händer vid lite större tal som 1 000, 1 000 000, osv.?

En slutsats vid försök 2) är att på riktigt stora tal blir det inte så stor skillnad utan svaret närmar sig 1,0.

Har du gjort dessa prov innan du tar itu med uppgiften så tror jag att den blir ganska enkel för dig?

Börja med att fördubbla!

Sätt sedan ett lika med tecken och lös ut ekvationen!

Följande sätt;

2B/2B+2=B/B+1

(multiplicera med nämnaren B+1 på bägge sidorna)!

Genom att lösa ut det kommer du förstå att det alltid A blir större.

Du behöver alltså inte testa dig fram, utan jag skulle personligen tycka att den uträkning jag gjorde räcker långt!

Horsepower skrev:
Du behöver alltså inte testa dig fram, utan jag skulle personligen tycka att den uträkning jag gjorde räcker långt!

Hmm... jag vet inte. Med ditt test får jag fram att B=B. Kanske jag missförstår dig?

Man skulle kunna tänka enligt nedan (vilket är vad du kanske egentligen tänker Horsepower?)

Om vi antar att A blir större om B dubbleras så kan resonemanget vara så här:
Vi vet att för att A ska bli större så måste förhållandet täljare nämnare förändras så att antingen blir täljaren större eller nämnaren mindre.

Vi undersöker vad händer med respektive täljare och nämnare.

Om vi dubblerar B så blir täljaren dubbelt så stor.

Enligt förutsättningen så får inte nämnaren också bli dubbelt så stor eller rent av större än så.
Den blir 2B+1 .
För att den skulle ha blivit dubbelt så stor så skulle den ha varit 2(B+1) dvs. 2B+2

Alltså ökar den inte med det dubbla och därför kommer A att bli större om B dubbleras.

Eftersom jag försöker lära mig mer om bevis skulle det vara trevligt om någon ville visa ett snyggt bevis.

Man kan skriva $\frac{B}{B+1}$ som $1 - \frac{1}{B+1}$ . Ser du ett bevis då?

Laguna skrev:
Man kan skriva $\frac{B}{B+1}$ som $1 - \frac{1}{B+1}$ . Ser du ett bevis då?

Det tog ett tag för mig att förstå hur du kom fram till det :-) $\frac{B + 1}{B + 1} - \frac{1}{B + 1} = \frac{B + 1 - 1}{B + 1} = \frac{B}{B + 1}$

Vid test ser jag att det stämmer, men sedan kommer vi till formuleringarna.

Vid dubblering av B ser vi att om $A = 1 - \frac{1}{B + 1}$ så kommer A att öka, vsb.
Är det OK?

Tack @ConnyN för att du hittade mitt uppenbara fel. Menade såklart detta.

Vi antar att 2B/2B+1> B/B+1

Lös it genom en korsvismultilplikation!

DÅ vet man att det stämmer :).

ConnyN skrev:
[...]
Vid test ser jag att det stämmer, men sedan kommer vi till formuleringarna.
Vid dubblering av B ser vi att om $A = 1 - \frac{1}{B + 1}$ så kommer A att öka, vsb.
Är det OK?

Nja, jag tycker nog att du måste motivera det bättre, till exempel genom att visa att kvoten är positiv, mindre än 1 och att kvoten minskar då B ökar.

--------------

Om man inte kommer på den smarta omskrivningen så går uppgiften även att lösa på följande rättframma sätt.

Jämför de två värdena på A.

$A_1=\frac{B}{B+1}$

$A_2=\frac{2B}{2B+1}$

Om differensen $A_1-A_2>0$ så minskar $A$

Om differensen $A_1-A_2<0$ så ökar $A$

$A_1-A_2=\frac{B}{B+1}-\frac{2B}{2B+1}=$

[förläng bråken så att de får en gemensam nämnare]

$=\frac{B(2B+1)}{(B+1)(2B+1)}-\frac{2B(B+1)}{(B+1)(2B+1)}=$

$=\frac{(2B^2+B)-(2B^2+2B)}{(B+1)(2B+1)}=$

$=\frac{2B^2+B-2B^2-2B)}{(B+1)(2B+1)}=\frac{-B}{(B+1)(2B+1)}$

Eftersom $B$ är ett positivt tal så är

nämnaren större än 0 (en produkt av två positiva tal)
täljaren mindre än 0

Dvs differensen är mindre än 0. Vilket inmebär att $A$ ökar.

ConnyN skrev:
Laguna skrev:
Man kan skriva $\frac{B}{B+1}$ som $1 - \frac{1}{B+1}$ . Ser du ett bevis då?
Det tog ett tag för mig att förstå hur du kom fram till det :-) $\frac{B + 1}{B + 1} - \frac{1}{B + 1} = \frac{B + 1 - 1}{B + 1} = \frac{B}{B + 1}$
Vid test ser jag att det stämmer, men sedan kommer vi till formuleringarna.
Vid dubblering av B ser vi att om $A = 1 - \frac{1}{B + 1}$ så kommer A att öka, vsb.
Är det OK?

Lite mer kan man skriva, t. ex. att när B ökar så minskar kvoten 1/(B+1) och då ökar A.

Hur jag kom på själva omskrivningen vet jag inte riktigt, rutin bara. Om man funderar på värdet när B är stort så ser man att A är nära ett. Och då kan man prova att dra bort den där ettan och se vad man får.

Tack allihopa för svar och respons.

Nu måste jag sätta på mig tänkarluvan och grunna en stund på detta :-)

OK nu har jag tänkt en stund.

Horsepower har en lätt och galant lösning, men svaret blir lite kryptiskt för mig 2B>B? Det ser ju tydligt ut, men det känns som att det är svårt att använda som bevis? Behandlar jag olikheten på ett felaktigt sätt?

Yngve har som vanligt en översiktlig och tydlig beskrivning och beviset håller, men det blev lite långt och krångligt?

Lagunas förslag tilltalar mig mest, fast övergången till $A = 1 - \frac{1}{B + 1}$ är knepig, men är utmärkt för bevis.
När B dubbleras så blir kvoten 1/(B+1) mindre och A blir större och vid väldigt stora värden på B går A mot 1

Vid test av olika värden på B så får jag dessutom samma svar oavsett om jag använder Lagunas ekvation eller urprungsekvationen. Även vid tal mindre än 1 fungerar de två lika.

Man kan undra om beviset faktiskt hade gått att använda direkt på ursprungsekvationen?

Ytterligare ett alternativ är

$\frac{2 B}{2 B + 1} = \frac{B}{B + 1 / 2} > \frac{B}{B + 1}, e f t e r s o m B > 0 o c h 0 < B + 1 / 2 < B + 1 .$

Jag vill faktiskt framföra en åsikt (som jag hoppas är väldigt okontroversiell)

Att "pröva sig fram" eller att "testa värden" är så omatematiskt och nybörjar-style att det inte är sant. Det är inte hållbart i längden och det är inte heller matematiskt snyggt att argumentera på det sättet. Det kan vara att rekommendera till elever som verkligen inte fattar en uppgift, men annars, undvik. Om jag kan så löser jag alltid uppgifter algebraiskt som tex PANTAMERA och yngve har visat. Eller rättare sagt, jag försöker alltid göra allt algebraiskt, och går det inte så går det inte, numeriska metoder tillfredsställer mig aldrig.

En till: $\lim_{x \to \infty} (\frac{x}{x + 1}) = \lim_{x \to \infty} (\frac{1}{1 + \frac{1}{x}}) = 1$

Men den kanske är lite för enkel (och tråkig), eller för svår, gränsvärden lär man sig inte i matte1.

Qetsiyah skrev:
Jag vill faktiskt framföra en åsikt (som jag hoppas är väldigt okontroversiell)
Att "pröva sig fram" eller att "testa värden" är så omatematiskt och nybörjar-style att det inte är sant. Det är inte hållbart i längden och det är inte heller matematiskt snyggt att argumentera på det sättet. Det kan vara att rekommendera till elever som verkligen inte fattar en uppgift, men annars, undvik. Om jag kan så löser jag alltid uppgifter algebraiskt som tex PANTAMERA och yngve har visat. Eller rättare sagt, jag försöker alltid göra allt algebraiskt, och går det inte så går det inte, numeriska metoder tillfredsställer mig aldrig.

Här håller jag inte alls med. Att pröva sig fram är en jättebra metod för att komma fram till vad det är man vill försöka bevisa. Att BARA kolla om någonting stämmer för vissa värden ger (i stort sett) en lösning på E-nivå, men hellre det än ingen lösning alls, eller hur? När man har konstaterat om A blir större eller mindre när B dubbleras, kan det vara möjligt att göra en algebraisk lösning.

Allt som ger en bättre förståelse för problemet är av godo, t. ex. rita, prova, hitta fysikaliska tillämpningar, programmera, etc.

Smaragdalena: Ja, det är precis som du säger, den metoden tjänar bara till att se vad det är man försöker bevisa, det är absolut inget som används i ett formellt bevis. Hellre det än ingen lösning alls? Man kan mycket väl komma fram till ett fint algebraiskt bevis utan att testa först. En sån känsla för matte tycker jag att alla ska sträva efter.

Laguna: O ja, men allt duger inte som svar. Som jag skrev ovan menar jag att det vore bäst om man omedelbart kunde se vad som händer och börja tänka på hur man ska formulera ett bevis. Om man inte kan det, ja då får man ta till andra knep, tex prova värden.

Till er båda: Jag skrev ju faktiskt "det kan vara att rekommendera till en elev som verkligen inte fattar uppgiften, men annars undvik". Det håller ni ju uppenbart med om. Vad håller ni inte med om?

Till er båda: Jag skrev ju faktiskt "det kan vara att rekommendera till en elev som verkligen inte fattar uppgiften, men annars undvik". Det håller ni ju uppenbart med om. Vad håller ni inte med om?

Det du skriver är förfärligt nedlåtande och tyder ärligt talat på en förfärlig människosyn hos dig. Alla behöver läsa Ma1, även om man inte är intresserad av matte.

Okej ja jag tryckte mig för strävt, men som gottgörelse vill jag erbjuda trådskaparen ännu en lösning, eller ledtråd, som kanske passar bättre.

Det finns två syskon där den ena är ett år äldre än den andra. Då den ena är ett år kommer den andra vara två år, den ena är dubbelt så gammal som den andra. Kommer det äldre syskonet alltid vara dubbelt så gammal? Kan du tecka ett uttryck för bådas ålder? Vad händer när det äldre syskonet fyller 50 år?

Ibland finns det bara numeriska metoder. Det är också matematik. I alla fall räknas det dit.

Här kommer ett förslag som är en kombination av Yngves och Patenterameras förslag plus inspiration av alla som bidragit i tråden.

Förutsättningarna var följande: $A = \frac{B}{B + 1}$ där B är ett positivt tal.

Frågan som ställs lyder: Blir A större eller mindre om B dubbleras? Svaret ska motiveras.

$A_{1} = \frac{B}{B + 1} A_{2} = \frac{2 B}{2 B + 1}$

Om $A_{1} > A_{2}$ så minskar A

Om $A_{1} < A_{2}$ så ökar A

Ekvationen $A_{2} = \frac{2 B}{2 B + 1}$ kan skrivas $A_{2} = \frac{B}{B + \frac{1}{2}}$

Om vi nu jämför de två uttrycken $\frac{B}{B + 1} o c h \frac{B}{B + 1 / 2}$ så ser vi att $B + 1$ måste vara större än $B + 1 / 2$

och därför måste $A_{1} = \frac{B}{B + 1}$ vara mindre än $A_{2} = \frac{2 B}{2 B + 1}$

Vilket väl borde vara ett vattentätt bevis för svaret som blir att A blir större om B dubbleras och B är ett positivt tal.

ConnyN skrev:
Här kommer ett förslag som är en kombination av Yngves och Patenterameras förslag plus inspiration av alla som bidragit i tråden.
Förutsättningarna var följande: $A = \frac{B}{B + 1}$ där B är ett positivt tal.
Frågan som ställs lyder: Blir A större eller mindre om B dubbleras? Svaret ska motiveras.
$A_{1} = \frac{B}{B + 1} A_{2} = \frac{2 B}{2 B + 1}$
Om $A_{1} > A_{2}$ så minskar A
Om $A_{1} < A_{2}$ så ökar A
Ekvationen $A_{2} = \frac{2 B}{2 B + 1}$ kan skrivas $A_{2} = \frac{B}{B + \frac{1}{2}}$
Om vi nu jämför de två uttrycken $\frac{B}{B + 1} o c h \frac{B}{B + 1 / 2}$ så ser vi att $B + 1$ måste vara större än $B + 1 / 2$
och därför måste $A_{1} = \frac{B}{B + 1}$ vara mindre än $A_{2} = \frac{2 B}{2 B + 1}$
Vilket väl borde vara ett vattentätt bevis för svaret som blir att A blir större om B dubbleras och B är ett positivt tal.

Snyggt!

Yngve skrev:
ConnyN skrev:
Här kommer ett förslag som är en kombination av Yngves och Patenterameras förslag plus inspiration av alla som bidragit i tråden.
Snyggt!

Tack Yngve och tack för hjälpen. Nu känner jag mig mer motiverad för kapitlet om bevis och än en gång blev det så att jag fick upptäcka på nytt hur viktigt det är att läsa allt som står på de första sidorna i kapitlet :-)

For what it's worth så läste jag nyligen en hel kurs i så kallad experimentell matematik, som går ut på att använda olika datorbaserade metoder (t.ex. probabilistiska metoder, visualisering, sökning i talföljdsdatabaser, symbolisk inversion med mera) för att angripa svåra matematiska problem, med tre huvudsakliga mål:

Komma fram till hypoteser.
Testa om hypoteserna verkar stämma innan man ens försöker bevisa dem.
Få idéer till hur ens hypoteser skulle kunna bevisas (t.ex. genom att upptäcka kopplingar till andra matematiska problem).

Visst är det fint och härligt om man slipper använda den här typen av lite mer trevande approach, och i stället direkt kan formulera satser som omedelbart kan bevisas, men verkligheten är sällan så tillrättalagd att det låter sig göras. Och i de fallen skulle jag säga att konsten att på ett nyfiket men samtidigt systematiskt sätt leka runt med och utforska matematiska fenomen är väldigt värdefull att bemästra! :-)

En kul bok med massor av exempel på hur sådana här experimentella metoder kan se ut i praktiken är Introduction to Experimental Mathematics av Søren Eilers och Rune Johansen.

Kan även passa på att slänga in en Youtube-video där Grant Sanderson ger ett exempel på hur ett till synes väldigt mystiskt problem går att angripa genom att - just det - testa sig fram lite förutsättningslöst, för att bygga upp en känsla för hur fenomenet fungerar.

Tack oggih för inlägget och Youtube-videon du refererade till var riktigt bra.

En sak han sa tyckte jag var särskilt bra för oss som svarar, fritt citerat "det som är självklart för dig som kan det, kan vara en nyupptäckt för den som ser det för första gången"

Just vid de tillfällena behöver åtminstone jag pröva och testa med alla möjliga angreppsmetoder.

Den videon har jag faktiskt sett, den är väldigt intressant.

Den kursen låter trevlig, men inte så suktande för mig. Som kanske redan uppenbart så föredrar jag ren matematik, lite dumt kanske med tanke på att jag ska bli ingenjör, men ja så tycker jag i alla fall.

Fast även rena matematiker behöver kunna treva sig fram i okunnighetens mörker ibland! En av de frågor, som jag (utan någon vidare framgång) har försökt använda just den här typen av experimentella tekniker på, handlar om en slags eulerkaraktäristik för ändliga grupper, som tros kunna ge någon slags information om gruppen, t.ex. om hur den interagerar med olika vektorrum. För en av de enklaste varianterna av den här eulerkaraktäristiken finns det en intressant och som jag förstår det ganska välgrundad (men fortfarande obevisad) förmodan om detta (som ibland kallas Knörr-Robinsons förmodan) men det är fortfarande är en öppen fråga vad de mer komplicerade varianterna kan tänkas säga oss. Hittills har jag mest försökt komma på smidiga sätt att beräkna stora mängder av exempel för olika familjer av grupper, i hopp om att se någon slags mönster eller få en träff i talföljdsdatabasen OEIS. Oklart om det någonsin kommer leda fram till något - men i vilket fall som helst är detta ett av många exempel på hur experimentella metoder kan användas i situationer som får sägas ligga ganska långt ifrån tillämpad matematik! :-)

Ojoj, sakta i backen, jag förstår ingenting av det du skriver. Är det talteori som det rör sig om?

I grund och botten är det gruppteori (där man studerar grupper, som är en slags mängder av symmetrier), men idén med eulerkaraktäristiker är inspirerad från topologi (där man studerar deformationsinvarianta egenskaper hos kurvor, ytor och andra former av "rum") och Knörr-Robinsons förmodan handlar om representationteori (där man studerar symmetrier i vektorrum).

Men min huvudsakliga poäng var mest att folk på alla möjliga olika nivåer (även inom lite mer abstrakt matematik) ibland ställs inför problem där man inte riktigt vet var man ska börja, och att det då inte är något fult, skamligt eller 'omatematiskt' att prova sig fram och experimentera lite. Tvärtom tycker jag till och med att förmågan att kunna göra detta på ett kreativt och samtidigt effektivt/systematiskt sätt är en viktig del av att vara en bra matematiker! Men, med det sagt håller jag helt klart med om det du skriver om att enstaka exempel eller numeriska beräkningar inte kan ersätta bevis, och ibland kan jag tycka att man borde trycka mer i gymnasiematiken på hur milsvid skillnaden mellan enstaka exempel och ett bevis ofta kan vara.

Smaragdalena skrev:
Till er båda: Jag skrev ju faktiskt "det kan vara att rekommendera till en elev som verkligen inte fattar uppgiften, men annars undvik". Det håller ni ju uppenbart med om. Vad håller ni inte med om?
Det du skriver är förfärligt nedlåtande och tyder ärligt talat på en förfärlig människosyn hos dig. Alla behöver läsa Ma1, även om man inte är intresserad av matte.

Jag håller verkligen med dig Smaragdalena här om Qetsiyah icke tillfredställande kommentarer. Att endast förhålla sig till algebraiska lösningsmetoder och bojkotta numeriska metoder och försöka se mönstret är så patetiskt.

När jag studerade Ma1c så minns jag att det var en uppgift som skulle lösas algebraiskt. Inte fan såg jag vad det söktes efter direkt. Därmed tog jag tag i numeriska metoder och sedan sakta in på en algebraisk metod och lösning som även gav mig fullpoäng. Därmed tycker jag att Qetsiyah verkar som en självisk person. Inte bra‼️