MATRIX: en spännande film med många öppna frågor om universum (alltså fråga 3 och 4)

3. Varför måste vi byta plats när vi transponerar en produkt?

${(A B)}^{t} = B^{t} A^{t}$

Vår mycket smart men mycket-trött-på-dumma-frågor doktorand skrev följande på min papper:

${({(A B)}^{t})}_{i j} = {(A B)}_{j i} = \sum_{k} A_{j k} B_{k i} = \sum_{k} {(A^{t})}_{k j} {(B^{t})}_{i k} = \sum_{k} {(B^{t})}_{i k} {(A^{t})}_{k j} = {(B^{t} A^{t})}_{i j}$

Jag ser att paren ij byter position hela tiden men jag är typ inte med om vad är det som händer, förutom en mycket livlig sexliv mellan $k$ och $i$ ?

4. Bonus fråga!

Doktoranden sa också att när man transponerar matrisen byter de position med avseende på diagonal, som var inte samma sak som att roterar de! Vad innebär det? Är det andra saker som roterar med avseende på diagonal (typ när man måste leta efter invers eller sånt)?

Det kan vara ganska jobbigt med dessa summor. Här är en video, som förklarar lite om notationen: Index-notation

För en matris $A$ så kallar man elementet som står på rad $i$ och kolumn $j$ för $A_{ij}$ . Att man transponerar en matris betyder att man gör om raderna till kolumner. Till exempel, "ta tag i rad ett, och vrid den nittio grader, och placera som kolumn 1 i en ny matris". Gör likadant för alla rader.

Det här får som konsekvens att elementet $A_{ij}$ i $A$ , kommer att få den nya platsen på rad $j$ och kolumn $i$ i transponatet.

Ett element $(AB)_{ij}$ i produkten $AB$ kan räknas ut med matrismultiplikation på vanligt vis, och om man funderar ett bra tag kommer man fram till att det kan skrivas: $(AB)_{ij} = \sum_k A_{ik} B_{kj}$ . För ett element $AB_{ij}$ på given rad $i$ och kolumn $j$ i $AB$ , så ska man använda alla kolumner i $A$ , och alla rader i $B$ .

Summan blir då $(AB)_{ij} = A_{i1}B_{1j} + A_{i2}B_{2j} + ...$

Angående beviset av $(AB)^t = B^t A^t$ . Kom ihåg att $A_{ij} = (A^t)_{ji}$ . Steget när man byter plats på matriselementen, $(A^t)_{kj}(B^t)_{ik} = (B^t)_{ik} (A^t)_{kj}$ , är okej eftersom att detta är "vanlig multiplikation" mellan två tal, och denna operation är kommutativ.

pi-streck=en-halv skrev :
Det kan vara ganska jobbigt med dessa summor. Här är en video, som förklarar lite om notationen: Index-notation
För en matris $A$ så kallar man elementet som står på rad $i$ och kolumn $j$ för $A_{ij}$ . Att man transponerar en matris betyder att man gör om raderna till kolumner. Till exempel, "ta tag i rad ett, och vrid den nittio grader, och placera som kolumn 1 i en ny matris". Gör likadant för alla rader.
Det här får som konsekvens att elementet $A_{ij}$ i $A$ , kommer att få den nya platsen på rad $j$ och kolumn $i$ i transponatet.
Ett element $(AB)_{ij}$ i produkten $AB$ kan räknas ut med matrismultiplikation på vanligt vis, och om man funderar ett bra tag kommer man fram till att det kan skrivas: $(AB)_{ij} = \sum_k A_{ik} B_{kj}$ . För ett element $AB_{ij}$ på given rad $i$ och kolumn $j$ i $AB$ , så ska man använda alla kolumner i $A$ , och alla rader i $B$ .

Alltså du menar när dessa matriser är kvadratiska?

Tack för länken, jag ska titta på den nu, återkommer!

Hej igen!

Jag måste fundera ett tag till och tar gärna andra videor om du hittade några som var riktig bra! Jag har surfat en stund och hittar inte en med tillräckligt exempel och practice.

Kan du ta fråga 4:an också :)?

dajamanté skrev :
Hej igen!
Jag måste fundera ett tag till och tar gärna andra videor om du hittade några som var riktig bra! Jag har surfat en stund och hittar inte en med tillräckligt exempel och practice.
Kan du ta fråga 4:an också :)?

Jag vet inte riktigt vad du menar med fråga 4?

Video:
Matrix transpose

Determinant of Matrix transpose

Jag vet inte om jag förstådd själv vad jag menade med fråga 4 :)

Men iaf, vår doktorand sa att istället för att rotera matrisen framåt, en transposition var som ett blad som vi vände.

Alltså inte det:

Utan det, om du förstår min figur:

Det var viktigt att förstå för vad det innebär och för att kunna skapa skevmatriser och sånt...

Jag ska titta på Khan academy videor :)

Hej!

Det gäller att visa att elementet på rad nummer $i$ och kolonn nummer $j$ hos matrisen $(AB)^{t}$ är samma sak som elementet på rad nummer $i$ och kolonn nummer $j$ hos matrisen $B^{t}A^{t}.$

Elementet på rad nummer $i$ och kolonn nummer $j$ hos matrisen $(AB)^{t}$ är

$((AB)^{t})_{ij} = (AB)_{ji}\ .$

Definitionen av matrisprodukt ger

$(AB)_{ji} = \sum_{k=1}^{p}(A)_{jk}(B)_{ki}\ .$

2. Elementet på rad nummer $i$ och kolonn nummer $j$ hos matrisen $B^{t}A^{t}$ är

$(B^{t}A^{t})_{ij} = \sum_{k=1}^{p} (B^{t})_{ik}(A^{t})_{kj} = \sum_{k=1}^{p}(B)_{ki}(A)_{jk} = \sum_{k=1}^{p}(A)_{jk}(B)_{ki}\ .$

Om du jämför dessa två summor så ser du att de är identiska, vilket betyder att matriserna $(AB)^{t}$ och $B^{t}A^{t}$ är identiska.

Albiki

Tack :)

Jag tror jag kör några exempel imorgon tills det sjunker in.

Svara

Visa senaste svar