Matrismultiplikation där kolumner byter plats i identitetsmatrisen
Hej, jag håller på med uppgift 2,7. Jag har gjort ett exempel och inser att raderna i och j kommer byta plats i produkten, men jag behöver få det lite mer allmänt. Hur ska jag tänka då?
Pröva med några andra värden på i, j och n. Se om du ser något mönster.
Blir det någon skillnad om du byter rad i mot rad j i enhetsmatrisen eller har det samma resultat som att byta kolumner? Dvs får du samma matris Ei,j?
Hur går det? Kom du vidare? Här är ett förslag på lösning.
Vi kan införa kronecker delta .
Vi har då att , där vi infört en permutation som vi definierar genom
.
.
Den enda term som är skild från noll fås då , dvs om . Så vi har
.
Om k är skilt från i och j så är , och resultatet blir Akm, dvs rad k vid multiplikation ger rad k hos matrisen A.
Om k = i så är . Så resultatet blir Ajm, dvs rad i vid multiplikation utgörs av rad j i matrisen A.
På motsvarande sätt så ger k = j resultatet Aim så att rad j vid multiplikation utgörs av rad i i matrisen A.
Resultatet av multiplikationen gör således att rad i och j i A byter plats. Resten förblir oförändrad.
Tack så mycket! Då hänger jag med