Matrismultiplikation där kolumner byter plats i identitetsmatrisen

Pröva med några andra värden på i, j och n. Se om du ser något mönster.

Blir det någon skillnad om du byter rad i mot rad j i enhetsmatrisen eller har det samma resultat som att byta kolumner? Dvs får du samma matris E_i,j?

Hur går det? Kom du vidare? Här är ett förslag på lösning.

Vi kan införa kronecker delta ${\delta }_{\alpha \beta }=\left\{\begin{array}{l}1, \alpha =\beta \\ 0, \mathrm{annars}\end{array}\right.$.

Vi har då att ${\left(E_{i, j}\right)}_{kl}={\delta }_{k\sigma \left(l\right)}$, där vi infört en permutation $\sigma$ som vi definierar genom

$\sigma \left(l\right)=l, l\ne i, j$

$\sigma \left(i\right)=j, \sigma \left(j\right)=i$.

${\left(E_{i, j}A\right)}_{km}=\sum _l{\delta }_{k\sigma \left(l\right)}{A}_{lm}$.

Den enda term som är skild från noll fås då $\sigma \left(l\right)=k$, dvs om $l={\sigma }^{-1}\left(k\right)$. Så vi har

$\sum _l{\delta }_{k\sigma \left(l\right)}{A}_{lm}=A_{{\sigma }^{-1}\left(k\right)m}$.

Om k är skilt från i och j så är ${\sigma }^{-1}\left(k\right)=k$, och resultatet blir A_km, dvs rad k vid multiplikation ger rad k hos matrisen A.

Om k = i så är ${\sigma }^{-1}\left(k\right)={\sigma }^{-1}\left(i\right)=j$. Så resultatet blir A_jm, dvs rad i vid multiplikation utgörs av rad j i matrisen A.

På motsvarande sätt så ger k = j resultatet A_im så att rad j vid multiplikation utgörs av rad i i matrisen A.

Resultatet av multiplikationen gör således att rad i och j i A byter plats. Resten förblir oförändrad.

Tack så mycket! Då hänger jag med