6 svar
381 visningar
nattek behöver inte mer hjälp
nattek 9 – Fd. Medlem
Postad: 8 nov 2020 12:54 Redigerad: 8 nov 2020 12:54

Matrisinvers


Hej!

Jag har genom att räkna ut determinanten fått reda på för vilka värden på t som A inte är inverterbar. Vi har dock inte gått igenom determinanter i kursen ännu, finns det något annat sätt att ta reda på detta? 

Sedan förstår jag inte riktigt hur jag ska få A på reducerad trappstegsform, mina uträkningar blir så krångliga. Jag försöker använda Gauss-Jordan, men det blir alldeles för komplicerade uttryck.

I fråga b) tror jag att jag vet hur man gör. Jag har bara använt vanliga räkneregler och fått svaret

      41  14  14

B= 14  24   4

      14   4     17

Verkar det rimligt?

Peter 1019
Postad: 8 nov 2020 15:59

Om du inte vill använda determinanten (som annars är ett utmärkt sätt) så behöver du nog göra om den till trappstegsform även om det blir jobbigt. Matrisen är då inverterbar när ingen rad är 0. Det är möjligt att det finns andra sätt.

På b) ser det rätt ut.

Jroth 1191 – Fd. Medlem
Postad: 8 nov 2020 15:59 Redigerad: 8 nov 2020 16:06

Ditt svar på b) ser ok ut.

På den första deluppgiften kan du använda Gauss Jordan och det blir kanske lite krångliga uttryck.

Jag utförde följande operationer:

1. Subtrahera t/2t/2 rad1 från rad3

2.  Subtrahera 3/23/2 rad1 från rad3

3. Subtrahera -5/(1+2t)-5/(1+2t) rad2 från rad3

I det sista steget måste man anta att t-1/2t\neq -1/2 (vi får inte dela med noll!).  Fallet t=-1/2t=-1/2  får vi undersöka separat senare.

Resultatet blir

24t0-2t-11-t2200-(t+3)(t+4)4t+2\left(\begin{array}{ccc}2 & 4 & t \\0 & -2 t-1 & 1-\frac{t^2}{2}\\0 & 0 & -\frac{(t+3) (t+4)}{4 t+2} \\\end{array}\right)

Vi ser att för t=-3t=-3 samt t=-4t=-4 blir det idel nollor på sista raden (Matrisens rang blir då mindre än 3 och kan inte inverteras).

Specialfallet t=-1/2t=-1/2 som skenbart ser ut att döda pivotelementet på rad2 ger också rang 3 (inverterbar, visas separat).

Alltså kan matrisen inverteras för alla t-3t\neq -3 och t-4t\neq -4

Peter 1019
Postad: 8 nov 2020 16:27 Redigerad: 8 nov 2020 16:38

t=-1/2 är inte heller så bra för nämnaren på rad 3.

EDIT: Aha, den är inverterbar även för t=-1/2. Det är det du försöker säga, Jroth? (kollade just i Octave)

Jroth 1191 – Fd. Medlem
Postad: 8 nov 2020 16:55
Peter skrev:

EDIT: Aha, den är inverterbar även för t=-1/2. Det är det du försöker säga, Jroth? (kollade just i Octave)

Ja, t=-1/2t=-1/2 var ju specialfallet från radeliminationen. Den reducerade matrisen är bara giltig då t-1/2t\neq -1/2 eftersom vi antog det i steg 3.

Specialfallet t=-1/2t=-1/2 måste alltså undersökas separat och det visar sig då att den matrisen också är inverterbar.

abbe59 29 – Fd. Medlem
Postad: 8 nov 2020 20:30
Jroth skrev:

Ditt svar på b) ser ok ut.

På den första deluppgiften kan du använda Gauss Jordan och det blir kanske lite krångliga uttryck.

Jag utförde följande operationer:

1. Subtrahera t/2t/2 rad1 från rad3

2.  Subtrahera 3/23/2 rad1 från rad3

3. Subtrahera -5/(1+2t)-5/(1+2t) rad2 från rad3

I det sista steget måste man anta att t-1/2t\neq -1/2 (vi får inte dela med noll!).  Fallet t=-1/2t=-1/2  får vi undersöka separat senare.

Resultatet blir

24t0-2t-11-t2200-(t+3)(t+4)4t+2\left(\begin{array}{ccc}2 & 4 & t \\0 & -2 t-1 & 1-\frac{t^2}{2}\\0 & 0 & -\frac{(t+3) (t+4)}{4 t+2} \\\end{array}\right)

Vi ser att för t=-3t=-3 samt t=-4t=-4 blir det idel nollor på sista raden (Matrisens rang blir då mindre än 3 och kan inte inverteras).

Specialfallet t=-1/2t=-1/2 som skenbart ser ut att döda pivotelementet på rad2 ger också rang 3 (inverterbar, visas separat).

Alltså kan matrisen inverteras för alla t-3t\neq -3 och t-4t\neq -4

Alltså för matrisen ska vara interverbar så måste rangen vara 3? annars om rangen är mindre så blire inte inverterbar? och vad menas med speciellfall och hur beräknar med det?

Jroth 1191 – Fd. Medlem
Postad: 9 nov 2020 14:27 Redigerad: 9 nov 2020 14:39
abbe59 skrev:

Alltså för matrisen ska vara interverbar så måste rangen vara 3? annars om rangen är mindre så blire inte inverterbar? och vad menas med speciellfall och hur beräknar med det?

Ja, om AA är en nxnnxn-matris så måste rank(A)=n\mathrm{rank}(A)=n för att AA ska vara inverterbar.

Du kan också se det som att AA måste ha nn st pivotelement eller att ekvationen Ax=0A\mathrm{x}=\mathbf{0} bara har den triviala lösningen x=0\mathbf{x}=0.

Det enklaste och vanligaste sättet att kontrollera om en matris är inverterbar är dock att utnyttja:

AA inverterbar detA0\iff \det\, A\neq 0

-----------------------------------------------------------------------------------------

När vi genomförde steg tre i Gausseliminationen ovan var vi tvungna att förutsätta att t-12t\neq-\frac12 eftersom man annars delar med noll (Se steg 3. ovan!). Det betyder att vi ännu inte vet vad som händer när t=-12t=-\frac12

Alltså måste vi måste undersöka specialfallet t=-12t=-\frac12 separat. Det gör vi genom att sätta in t=-12t=-\frac12 överallt där det står t. Du får du en matris AA som ser ut så här:

A=24-12-12-1131-1A=\left[\begin{array}{ccc}2 & 4 & -\frac{1}{2} \\-\frac{1}{2} & -1 & 1 \\3 & 1 & -1 \end{array}\right]

Radreduktion visar att också denna matris har rang 3, dvs AA är inverterbar även för t=-12t=-\frac12.

 

Slutligen vill jag göra dig uppmärksam på att det i uppgiftstexten står "reducerad trappstegsform", vilket brukar betyda att man vill fortsätta raduceringen några steg till så att man får 1:or på diagonalen och nollor över diagonalen.

Svara
Close