Matrisinvers

Om du inte vill använda determinanten (som annars är ett utmärkt sätt) så behöver du nog göra om den till trappstegsform även om det blir jobbigt. Matrisen är då inverterbar när ingen rad är 0. Det är möjligt att det finns andra sätt.

På b) ser det rätt ut.

Ditt svar på b) ser ok ut.

På den första deluppgiften kan du använda Gauss Jordan och det blir kanske lite krångliga uttryck.

Jag utförde följande operationer:

1. Subtrahera $t/2$ rad1 från rad3

2.  Subtrahera $3/2$ rad1 från rad3

3. Subtrahera $-5/(1+2t)$ rad2 från rad3

I det sista steget måste man anta att $t\neq -1/2$ (vi får inte dela med noll!).  Fallet $t=-1/2$  får vi undersöka separat senare.

Resultatet blir

$\left(\begin{array}{ccc}2 & 4 & t \\0 & -2 t-1 & 1-\frac{t^2}{2}\\0 & 0 & -\frac{(t+3) (t+4)}{4 t+2} \\\end{array}\right)$

Vi ser att för $t=-3$ samt $t=-4$ blir det idel nollor på sista raden (Matrisens rang blir då mindre än 3 och kan inte inverteras).

Specialfallet $t=-1/2$ som skenbart ser ut att döda pivotelementet på rad2 ger också rang 3 (inverterbar, visas separat).

Alltså kan matrisen inverteras för alla $t\neq -3$ och $t\neq -4$

t=-1/2 är inte heller så bra för nämnaren på rad 3.

EDIT: Aha, den är inverterbar även för t=-1/2. Det är det du försöker säga, Jroth? (kollade just i Octave)

Peter skrev:

EDIT: Aha, den är inverterbar även för t=-1/2. Det är det du försöker säga, Jroth? (kollade just i Octave)

Ja, $t=-1/2$ var ju specialfallet från radeliminationen. Den reducerade matrisen är bara giltig då $t\neq -1/2$ eftersom vi antog det i steg 3.

Specialfallet $t=-1/2$ måste alltså undersökas separat och det visar sig då att den matrisen också är inverterbar.

Jroth skrev:

Ditt svar på b) ser ok ut.

På den första deluppgiften kan du använda Gauss Jordan och det blir kanske lite krångliga uttryck.

Jag utförde följande operationer:

1. Subtrahera $t/2$ rad1 från rad3

2.  Subtrahera $3/2$ rad1 från rad3

3. Subtrahera $-5/(1+2t)$ rad2 från rad3

I det sista steget måste man anta att $t\neq -1/2$ (vi får inte dela med noll!).  Fallet $t=-1/2$  får vi undersöka separat senare.

Resultatet blir

$\left(\begin{array}{ccc}2 & 4 & t \\0 & -2 t-1 & 1-\frac{t^2}{2}\\0 & 0 & -\frac{(t+3) (t+4)}{4 t+2} \\\end{array}\right)$

Vi ser att för $t=-3$ samt $t=-4$ blir det idel nollor på sista raden (Matrisens rang blir då mindre än 3 och kan inte inverteras).

Specialfallet $t=-1/2$ som skenbart ser ut att döda pivotelementet på rad2 ger också rang 3 (inverterbar, visas separat).

Alltså kan matrisen inverteras för alla $t\neq -3$ och $t\neq -4$

Alltså för matrisen ska vara interverbar så måste rangen vara 3? annars om rangen är mindre så blire inte inverterbar? och vad menas med speciellfall och hur beräknar med det?

abbe59 skrev:

Alltså för matrisen ska vara interverbar så måste rangen vara 3? annars om rangen är mindre så blire inte inverterbar? och vad menas med speciellfall och hur beräknar med det?

Ja, om $A$ är en $nxn$-matris så måste $\mathrm{rank}(A)=n$ för att $A$ ska vara inverterbar.

Du kan också se det som att $A$ måste ha $n$ st pivotelement eller att ekvationen $A\mathrm{x}=\mathbf{0}$ bara har den triviala lösningen $\mathbf{x}=0$.

Det enklaste och vanligaste sättet att kontrollera om en matris är inverterbar är dock att utnyttja:

$A$ inverterbar $\iff \det\, A\neq 0$

-----------------------------------------------------------------------------------------

När vi genomförde steg tre i Gausseliminationen ovan var vi tvungna att förutsätta att $t\neq-\frac12$ eftersom man annars delar med noll (Se steg 3. ovan!). Det betyder att vi ännu inte vet vad som händer när $t=-\frac12$

Alltså måste vi måste undersöka specialfallet $t=-\frac12$ separat. Det gör vi genom att sätta in $t=-\frac12$ överallt där det står t. Du får du en matris $A$ som ser ut så här:

$A=\left[\begin{array}{ccc}2 & 4 & -\frac{1}{2} \\-\frac{1}{2} & -1 & 1 \\3 & 1 & -1 \end{array}\right]$

Radreduktion visar att också denna matris har rang 3, dvs $A$ är inverterbar även för $t=-\frac12$.

Slutligen vill jag göra dig uppmärksam på att det i uppgiftstexten står "reducerad trappstegsform", vilket brukar betyda att man vill fortsätta raduceringen några steg till så att man får 1:or på diagonalen och nollor över diagonalen.