Matriser och ekvationssystem

Jag orkade inte lusläsa hela, men matris nummer fyra verkar rätt, men sen får jag inte samma saker i sista raden på nästa matris när jag räknar i huvudet.

Laguna skrev:

Jag orkade inte lusläsa hela, men matris nummer fyra verkar rätt, men sen får jag inte samma saker i sista raden på nästa matris när jag räknar i huvudet.

Okej tack! Då ska jag se om jag gjort något fel efter det steget. 

På sista raden, 5:de matrisen, får jag nu $\begin{array}{c}\left[\begin{array}{cccccc}0& 0& 0& \frac{-4}{18}& -\frac{16}{18} ⋮& \frac{24}{18}\end{array}\right]\end{array}$. Men eftersom svaret för x4 = 3+5t stämmer inte detta heller verkar det som, eftersom mina värden ger x4 = 4+6t

Jag gjorde ett tappert försök med Gausseliminering. Till viss del överensstämmande med din procedur.

Jag landade i en en-parametrig lösning.

Bakåtsubstitution: $x_5=t,\, x_4=3+5t,\, x_3=-2-4t,\, x_2=-5-10t,\, x_1=3-2t$.

dr_lund skrev:

Jag gjorde ett tappert försök med Gausseliminering. Till viss del överensstämmande med din procedur.

Jag landade i en en-parametrig lösning.

 

Bakåtsubstitution: $x_5=t,\, x_4=3+5t,\, x_3=-2-4t,\, x_2=-5-10t,\, x_1=3-2t$.

Tack så jättemycket!

dr_lund skrev:

Jag gjorde ett tappert försök med Gausseliminering. Till viss del överensstämmande med din procedur.

Jag landade i en en-parametrig lösning.

 

Bakåtsubstitution: $x_5=t,\, x_4=3+5t,\, x_3=-2-4t,\, x_2=-5-10t,\, x_1=3-2t$.

Jag får inte ihop sista steget riktigt, skulle du vilja förklara hur du kommer fram till det som står vid "bakåtssubstituation"? 

Hmm, du verkar inte riktigt ha koll på Gausseliminationern.

OK crash course: Vi löser ut, nerifrån och upp i sista matrisen:

Fri parameter: $x_5$, som vi sätter till t.  Bundna variabler: $x_1,\ldots x_4$.

från rad 4: $-x_4+5 t=-3$, dvs $x_4=3+5t$.

Rad 3:  $9x_3+7x_4+t=3$. Sätt in $x_4$ och lös ut $x_3$.

Rad 2: $x_2+10 x_3+10 x_4+t=5$. Sätt in $x_3,\,x_4$ och lös ut $x_2$.

Rad 1: $x_1+2x_2+4x_3+6x_4+8t=3$. Sätt in $x_2,\,x_3,\,x_4$ och lös till sist ut $x_1$.

Överens?

dr_lund skrev:

Hmm, du verkar inte riktigt ha koll på Gausseliminationern.

OK crash course: Vi löser ut, nerifrån och upp i sista matrisen:

Fri parameter: $x_5$, som vi sätter till t.  Bundna variabler: $x_1,\ldots x_4$.

från rad 4: $-x_4+5 t=-3$, dvs $x_4=3+5t$.

Rad 3:  $9x_3+7x_4+t=3$. Sätt in $x_4$ och lös ut $x_3$.

Rad 2: $x_2+10 x_3+10 x_4+t=5$. Sätt in $x_3,\,x_4$ och lös ut $x_2$.

Rad 1: $x_1+2x_2+4x_3+6x_4+8t=3$. Sätt in $x_2,\,x_3,\,x_4$ och lös till sist ut $x_1$.

Överens?

Tack. Nej, jag har bara lärt mig att lösa ekvationssystem med vad jag tror kallas Gauss-Jordan Elimination där alla siffror ovanför pivotelementen ska vara lika med 0 (ingen bakåtsubstituation), men då förstår jag nu att det finns flera sätt att komma fram till en lösning. 

Som du konstaterar, är Gausselimination med bakåtsubstitution att föredra. Det är arbetsbesparande att nöja sig med en övertriangulär matris vid handräkning. Ju mindre handräkning desto mindre upphov till räknefel. Speciellt vid stora system, som i ditt exempel du jobbat så intensivt med.

Gauss-Jordan dvs när man eftersträvar en diagonalmatris, är metoden man måste använda vid bestämning av matrisinvers.