Matriser, Egenvärdesproblem (resonans, egenfrekvens)

Hej! Jag håller på med en mekanikuppgift och försöker minnas hur egenvärdesproblem fungerar. I mekanikuppgiften finns ett problem med dämpning och svängningar. Jag har förstått att detta är en klassisk applikation av egenvärden (Eigen values), men det var länge sen jag räknade på sånt här senast...

Jag har en ekvation

U^-1 * V * x=q^2 * x

Där U och V är kända matriser i formatet 2x2, q är en skalär och x är en okänd vektor 2*1 (skild från noll)

Finns det ett matrismatematiskt trick så att skalären och vektorn x kan bestämmas, bara med den här informationen?

Jag tänker mig att man ska multiplicera ihop U^-1 och V, låt oss kalla resultatet för W. Då ser det ut såhär:

W*x=q^2*x

Här är W en känd matris, x är en okänd vektor, q är en okänd skalär. Kan man bestämma x och q?

Här är en wiki-artikel som ger mig hopp, men min hjärna är riktigt seg just nu (jag har en tvåmånadersbebis och hela familjen är isolerad med misstänkt corona-hosta. Ingen fara med oss men det gör en inte smartare direkt).

https://en.wikipedia.org/wiki/Characteristic_polynomial

Edit: Ok, nu har jag sett att man kan skriva om ekvationen ovan till det nedanstående:

(q^2*I-W)*x=0

Där I är enhetsmatrisen. Här ska reglerna för determinanter komma och hjälpa mig finna x och q. I ekvationen ovan är alltså I och W kända, medan q och x är okända.

Ja karaktäristiskt polynom är en bra väg framåt, så det är en bra länk. I och med att de skriver $U^{- 1}$ i ekvationen där U är känd, så anar jag att det finns något trick som ger en snabbare väg framåt men det kan jag tyvärr inte hjälpa dig med.

Det finns säkert en sats som jag inte kan namnet på som säger att (edit: mja det kanske snarare är så att vi får fram de icketriviala lösningarna om vi sätter determinanten till 0)

$(q^{2} I - W) x = 0$

är samma sak som

det $(q^{2} I - W) = 0$

Gör en variabel substitution och kalla q² för $λ$ , så får du en andragradare i $λ$ . Googla på hur man kommer från det(...) till en ekvation om du inte vet hur man räknar ut determinanten. Sen löser du andragradaren.

Det är nu det börjar bli intressant! För då är dina 2 stycken $λ$ (kalla dem $λ$ ₁och $λ$ ₂) egenvärden till W. Du säger att x är okänd och det stämmer men den är inte entydigt bestämd. Det finns oändligt många lösningar. Inte nog med det. Det finns oändligt många x som uppfyller

Wx= $λ$ _ix för i=1, 2

D.v.s. för varje egenvärde finns det oändligt många lösningar men de har samma riktning (de spänner upp ett 1-dimensionellt linjärt rum).

Peter skrev:
[...]
Det finns säkert en sats som jag inte kan namnet på som säger att (edit: mja det kanske snarare är så att vi får fram de icketriviala lösningarna om vi sätter determinanten till 0)
$(q^{2} I - W) x = 0$
är samma sak som
det $(q^{2} I - W) = 0$
Gör en variabel substitution och kalla q² för $λ$ , så får du en andragradare i $λ$ . Googla på hur man kommer från det(...) till en ekvation om du inte vet hur man räknar ut determinanten. Sen löser du andragradaren.
Det är nu det börjar bli intressant! För då är dina 2 stycken $λ$ (kalla dem $λ$ ₁och $λ$ ₂) egenvärden till W.
[...]

Tack så mycket! Du har slagit an en klocka som ringer långt bak i huvudet på mig, vad gäller egenvärden/determinant. Du får mig att tro att det är något i uppgiften som jag missat, vad gäller x. Jag ska se om jag har några randvillkor eller liknande för att spika fast x.

Jag gissar att du inte förväntas svara med 2 unika egenvektorer men det är en gissning eftersom jag inte sett frågan. Det brukar inte vara relevant i mekanik/konstruktion hur stort beloppet av egenvektorn är. Det är bara riktningen som är viktig. Det är väldigt enkelt att svara genom att ange alla lösningar. Antag att du hittar 2 egenvektorer x₁ och x₂. Då kan alla lösningar till

Wx=q²x

skrivas

c₁x₁ och c₂x₂ för alla c₁, c₂ $\in ℝ$

ofta väljer man x₁ och x₂ att ha längden 1 men det är inte nödvändigt.

Edit: Jag lägger till ett exempel:

Sätt dig på en gunga och börja gunga. Det du och vilket barn som helst (nästan) gör är att lösa egenvärdesproblemet för gungan. Du hittar systemets egenfrekvens och du får amplituden att öka enom att förflytta din tyngdpunkt. Här är t.o.m. egenvärdena (och -vektorerna) beroende av amplituden, så det är ett mycket svårare problem som du och vilket barn som helst löser. Poängen jag vill komma till är att kraften du använder inte är så viktig. Du använder en betydligt större kraft än ett barn men effekten på systemet blir densamma efter ett tag. D.v.s. vektorns storlek som du använder är inte viktig. (Jag är lite osäker på om liknelsen haltar men jag tror definitivt att egenvärden/vektorer är inblandade. Är tid en del av egenvektorn??)

Svara

Visa senaste svar