Matriser
I en idrottsklubbar BK, FF och IF. Efter ett år görs följande klubbyten (alla som inte byter stannar kvar i respektive klubb):
större svensk stad är totalt 5000 personer aktiva utövare av en sport. Dessa fördelar sig på stadens 3
BK:5% →FF, 5%→IF. FF:25% →BK, 5%→IF. IF:20% →BK, 20%→FF.
Låt antalet utövare fördelad på klubb beskrivas av en 3 × 1 kolonnmatris, dvs sätt X = (BK FF IF)T .
Antag vidare att både antalet utövare och mo ̈nstret för klubbyten är oförändrad över ett antal år. Det betyder att antalet utövare något år ges av en 3 × 3 överföringsmatris A verkande på X för året innan.
(a) Bestäm A.
(b) Antag att X = 103 (2 1 2)T vid t = 0 (år). Bestäm antalet utövare i varje klubb efter 5 år.
(c) Bestäm antalet utövare i varje klubb efter lång tid ( t>20).
(d) Visa att jämviktsläget ovan kan beräknas med kunskap enbart om överföringsmatrisens egenvärden, egenvektorer och totala antalet utövare.
Hej!
Det här är min uppgift, jag är klar med de a, b,c frågorna och jag har bestämd egenvärdena och egenvektorer till den sista men jag vet inte hur man ska fortsätta, hur man ska visa. Om finns nån hjälpa till och tack för hand!
OBS: Jag har räknat i uppgift c antal utövare efter 55, 44, 30 år det var samma alltid.
Det du beräknar för att undersöka tillstånden är stora potenser av matrisen , dvs (här är initialtillståndet) för stora . Att beräkna potenser av diagonala matriser är i allmänhet mycket enklare än att beräkna potenser av andra sorters matriser, då kan man bara ta elementen på diagonalen upphöjt i samma exponent som matrisen för att beräkna potensen.
Känner du till något sätt att använda egenvärden och egenvektorer för att skriva om på diagonal form?
Tack så mycket för ditt svar !
Nu fattade jag, För att undvika A.A.A.A.......,som det är jobbigt, så vi kan använda A^n = SD^n S^-1.
Där D är diagonal matris, S egenvektorer matris,S^-1 är invers S. Men frågan här varför alltid får vi samma resultat även om n ändrade, är det p.g.a jämvikt tillstånd?
Tack snälla!
Ingen orsak!
Jag skulle tro att hur stort behöver vara för att man ska nå jämviktstillståndet varierar beroende på hur initialtillståndet ser ut. För att undersöka hur det blir för stora mer allmänt kan du beräkna gränsvärdet när för godtyckliga initialtillstånd (Ta t.e.x. ).
Tack!
Ha en bra fortsättning!
