Matrisekvationer och minstakvadratmetoden

Hej,

Den stora skillnaden mellan de två är att lösa matrisekvationer ger dig exakta lösningar till ett ekvationssystem, medan Minsta kvadratmetoden ger dig approximativa lösningar till ekvationssystem

Är det så att just inversen för en matris är man tillåten att multiplicera med i båda led för den behåller ekvivalens medan transponatet inte gör det?

Vid Minstakvadratmetoden söker man den vektor $x$ (med $m$ stycken  komponenter) sådan att avståndet mellan vektorn $Ax$ och vektorn $b$ (med $n$ stycken komponenter) är minsta möjliga.

Matrisen $A$ är av typ $n \times m$ och är därför inte inverterbar; skulle $A$ vara inverterbar är bästa möjliga vektor $x$ lika med $A^{-1}b$.

Genom att multiplicera med transponatet $A^{t}$ fås en matris $A^{t}A$ som är av typ $m\times m$ och har en möjlighet att vara inverterbar. Den bästa möjliga vektorn $x$ visar sig då vara $(A^{t}A)^{-1} A^{t}b$.