Matrisekvationer-Lös matrisekvationen

Hej Pluggakuten! Jag sitter och klurar på en matrisekvation, lite förargligt då svaret jag får fram är transponatet av korrekt svar.

uppgiften:
Lös matrisekvationen

${(X A + I)}^{T} = B d ä r A = (\begin{matrix} 2 & 3 \\ 1 & 2 \end{matrix}) o c h B = (\begin{matrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{matrix})$

Jag tänkte så här:

${(X A + I)}^{T} = B \leftrightarrow A^{T} X^{^{T}} + I^{T} = B I = (\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix}) \Rightarrow I^{T} = I A^{T} = (\begin{matrix} 2 & 1 \\ 3 & 2 \end{matrix}) X = (\begin{matrix} x_{1} \\ x_{2} \end{matrix}) \Rightarrow X^{T} = ? v e t e j h u r m a n t r a n s p o n e r a r e n 2 x 1 - m a t r i s s å j a g l ä m n a d e d e n s o m X A^{T} X = Y, Y = (\begin{matrix} y_{1} \\ y_{2} \end{matrix}) \Rightarrow \{\begin{array}{l} 2 x_{1} + x_{2} = y_{1} (a) \\ 3 x_{1} + 2 x_{2} = y_{2} (b) \end{array} \Leftrightarrow \{\begin{cases} 2 x_{1} + x_{2} = y_{1} (a') = (a) \\ x_{2} = - 3 y_{1} + 2 y_{2} (b') = 2 (b) - 3 (a) \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{array}{l} x_{1} = 2 y_{1} - y_{1} \\ x_{2} = - 3 y_{1} + 2 y_{2} \end{array} \Leftrightarrow {(A^{T})}^{- 1} = (\begin{matrix} 2 & - 1 \\ - 3 & 2 \end{matrix}) A^{T} X^{^{T}} + I^{T} = B \Leftrightarrow A^{T} X = B - I B - I = (\begin{matrix} 0 & 2 \\ 3 & 3 \end{matrix}) X = {(A^{T})}^{- 1} (B - I) \Leftrightarrow X = (\begin{matrix} 2 & - 1 \\ - 3 & 2 \end{matrix}) (\begin{matrix} 0 & 2 \\ 3 & 3 \end{matrix}) = (\begin{matrix} (2 \cdot 0) + (- 1 \cdot 3) & (2 \cdot 2) + (- 1 \cdot 3) \\ (- 3 \cdot 0) + (2 \cdot 3) & (- 3 \cdot 2) + (2 \cdot 3) \end{matrix}) \Leftrightarrow X = (\begin{matrix} - 3 & 1 \\ 6 & 0 \end{matrix}) k o r r e k t s v a r : X = (\begin{matrix} - 3 & 6 \\ 1 & 0 \end{matrix})$

Jag har ju fått fram transponatet till svaret så jag antar att jag är något på kornet.

Jag har faktiskt ytterligare en fråga, jag är inte helt klar på räknelagarna kring transponat om man transponerar båda sidor i en matrisekvation är ekvationerna ekvivalenta då?

Alltså stämmer det att:
${(X A + I)}^{T} = B \Leftrightarrow X A + I = B^{T}$

Tack! =)

Man transponerar en vektor på samma sätt som en matris, faktiskt. Första elementet är ett diagonalelement. Det som händer då är att en kolumnvektor blir en radvrktor och tvärt om. Annars skulle inte räknelagarna funka för en icke kvadratisk matris.

X blir en 2x2-matris, men du antar att det är en 2x1-matris. Sen får du fram en 2x2-matris i alla fall, som du ska. Så du har nog gjort allting rätt, men eftersom X skulle transponeras i början och du inte gjorde det så är det X^T du har räknat ut.

Det sista du skriver stämmer också. Du kunde ha blivit av med transponeringarna genom att transponera allting på det sättet.

Svara