Matrisekvation

Börja från början, hur skulle du göra för att lösa ut X? :)

Jag kom så långt som till;

$\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& -1\end{array}\right)X=3X+\left(\begin{array}{cc}4& 2\\ -2& 6\end{array}\right)-\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& 0\end{array}\right)X$

Sen blir jag osäker på om jag ska gå vidare på detta vis;

$\left(\begin{array}{cc}0& X\\ X& -X\end{array}\right)=3X+\left(\begin{array}{cc}4& 2\\ -2& 6\end{array}\right)-\left(\begin{array}{cc}x& x\\ x& 0\end{array}\right)$

Sätt inte in matriserna förrän det är dags att räkna, så undviker du förvirring. :) Om du flyttar alla termer med X i till vänsterledet får du: 

$AX-3X+A^{-1}X=2B$

Vad händer om du löser ut X?

$X(A-3+A^{-1})=2B$

Nästan! Dels måste X stå till höger om parentesen, då matrismultiplikation inte är kommutativ, och sedan kommer vi till frågan om $3I$. Vad står trean för i din ekvation? :)

Just ja, så var det med multiplikationen :) 

Jag kan inte komma fram till något annat än att 3 är för 3X, men det visste vi ju redan. Sen står det helt stilla uppe i huvudet... 

I vanlig aritmetik är det korrekt att 3 står för 3X, men när det gäller matriser får vi problem med otydlighet. Om du bara skriver "3", menar du konstanten 3, och inte matrisen $\left[\begin{array}{cc}3& 0\\ 0& 3\end{array}\right]$. Därför skrivs trean som $3I$. :)

Då förstår jag!

$\left(\begin{array}{cc}-2& 2\\ 2& -4\end{array}\right)X=\left(\begin{array}{cc}4& 2\\ -2& 6\end{array}\right)$

Då tänker jag att nästa steg är att multiplicera in X, men detta ger fel svar enligt facit. 

Utmärkt! 

Nja, det är ju X du vill hitta. Om du har ekvationen $4x=5$, hur löser du den? Kan du göra något liknande här?

Jag tänkte att det skulle vara
-2x=4 , x=-2

2x=2, x=1

2x=-2, x=-1

-4x=6, x=-3/2

så alltså $\left(\begin{array}{cc}-2& 1\\ -1& -3/2\end{array}\right)$eller om man ska snygga till det $\frac{1}{2}\left(\begin{array}{cc}-4& 2\\ -2& -3\end{array}\right)$.

Facit säger $\left(\begin{array}{cc}-3& -5\\ -1& -4\end{array}\right)$

-2x=4 , x=-2

2x=2, x=1

2x=-2, x=-1

-4x=6, x=-3/2

Vad betyder allt detta? Är det de individuella talen i matrisen X? Hur får du fram dessa, i sådant fall? 

Börja med en mycket enklare variant. Om du har ekvationen $5x=8$, hur löser du den?

Ja precis, det är talen individuellt. Alltså att höger hörn högst upp blir -2x och det motsvarar 4 i den andra matrisen. 

5x=8  blir x=8/5

Aha, nej det blir inte riktigt rätt, eftersom $\left[\begin{array}{cc}a& c\\ b& d\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}e& g\\ f& h\end{array}\right]\ne \left[\begin{array}{cc}ae& cg\\ bf& dh\end{array}\right]$. 

5x=8  blir x=8/5

Mycket riktigt. Något liknande måste du göra med matrisen X. Division är inte riktigt en grej inom linjär algebra, men ett likvärdigt alternativ till $\frac{8}{5}$ är $8·5^{-1}$. Du behöver alltså hitta inversen till matrisen i VL. Vad är inversen till $\left[\begin{array}{cc}-2& 2\\ 2& -4\end{array}\right]$? 

inversen blir $-\frac{1}{2}\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ 1& 1\end{array}\right)$.

Blir då detta $-\frac{1}{2}\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ 1& 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}4& 2\\ -2& 6\end{array}\right)$? 

Det är lite svårt att följa dina beräkningar. Tänk såhär:

När du beräknat inversen behöver du multiplicera med den på båda sidor

$$\begin{gathered} {\left(A+A^{-1}-3I\right)}^{-1}\left(A+A^{-1}-3I\right)X={\left(A+A^{-1}-3I\right)}^{-1}·2B \\ X={\left(A+A^{-1}-3I\right)}^{-1}·2B \end{gathered}$$

Alltså $X=-\frac{1}{2}\left[\begin{array}{cc}2& 1\\ 1& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}4& 2\\ -2& 6\end{array}\right]=-\frac{1}{2}\left[\begin{array}{cc}6& 10\\ 2& 8\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}-3& -5\\ -1& -4\end{array}\right]$

Tack, nu förstår jag! 

Utmärkt! Varsågod! :)