Matrisdiagonalisering

Vad får du om du ställer upp det(A  -  lambda*I)  = 0? Hitta egenvärdena och sedan respektive egenvektor. känns det bekant? 

Ja det känns bekant. Då får jag att egenvärdena är $4\pm \sqrt{12}$. Är egenvärdena mina värden för A?

Du har räknat fel på vad som ska stå under rottecknet. Ja, egenvärdena hamnar i diagonalen när egenvektorerna är bas.

Hej!

Du vill diagonalisera matrisen

    $\displaystyle A = \begin{pmatrix}1&3\\5&7\end{pmatrix}.$

För att göra det gäller det att bestämma matrisens egenvärden och egenvektorer.

Albiki

Hej!

Att diagonalisera matrisen betyder att du vill skriva den som en produkt

    $\displaystyle A = PDP^{T}$

där $P$ är en ortogonal matris vars kolonner är egenvektorer till $A$, och $D$ är en diagonalmatris vars diagonalelement är egenvärden till $A$, och $P^{T}$ betecknar transponatet till matrisen $P$; eftersom matrisen $P$ är ortogonal så är $P^{T}$ samma sak som den inversa matrisen $P^{-1}$.

Hej!

Du börjar med att bestämma egenvärdena till $A$. Eftersom matrisen är av typ $2\times 2$ så har den $2$ stycken egenvärden (som eventuellt är lika med varandra). Egenvärden ($\lambda$) är nollställen till matrisens karakteristiska polynom $p(\lambda)$. Det karakteristiska polynomet är en determinant,

    $\displaystyle p(\lambda) = \det(A-\lambda E)$

där $E = \begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}$ betecknar enhetsmatrisen av samma typ som matrisen $A$.

Albiki

Hej!

Uttryckt i mer detalj är det karakteristiska polynomet

    $\displaystyle p(\lambda) = \left|\begin{matrix}1-\lambda &3\\5&7-\lambda\end{matrix}\right| = (1-\lambda)(7-\lambda)-15 = \lambda^2-8\lambda-15\ .$

Albiki

Hej!

Du ser att det karakteristiska polynomet är av grad $2$ och att matrisen $A$ är av typ $2\times 2$. Allmänt gäller det att om man har en matris av typ $n\times n$ så kommer det motsvarande karakteristiska polynomet att vara av grad $n$. Nollställen till andragradspolynomet $p(\lambda)$ är lösningar till ekvationen $\lambda^2-8\lambda-15=0$. Med PQ-formeln får du de två talen $\lambda_1 = 4+\sqrt{31}$ och $\lambda_2 = 4-\sqrt{31}$. Diagonalmatrisen $D$ är alltså lika med

    $\displaystyle D = \begin{pmatrix}4+\sqrt{31}&0\\0&4-\sqrt{31}\end{pmatrix}.$

Det gäller nu att finna den matris $P$ som transformerar (diagonaliserar) matrisen $A$ till matrisen $D$.

Albiki

Hej!

Eftersom de två egenvärdena $\lambda_1$ och $\lambda_2$ är olika tal så kommer de två motsvarande egenvektorerna $v_1$ och $v_2$ att vara vinkelräta mot varandra (ortogonala). Det betyder att man kan använda $v_1$ och $v_2$ för att skapa ett nytt (ortogonalt) koordinatsystem där matrisen $A$ uttrycks på ett enkelt sätt: nämligen som diagonalmatrisen $D$.

I det vanliga xy-koordinatsystemet ser $A$ ut som $\begin{pmatrix}1&3\\5&7\end{pmatrix}$. I det nya $v_1v_2$-koordinatsystemet ser $A$ ut som $\begin{pmatrix}4+\sqrt{31}&0\\0&4-\sqrt{31}\end{pmatrix}$.

Egenvektorn $v_1=\begin{pmatrix}\alpha\\\beta\end{pmatrix}$ som hör till egenvärdet $\lambda_1$ är en lösning till ekvationen $Av_1 - \lambda v_1 = 0$ vilket är samma sak som ett linjärt ekvationssystem i de två variablerna $\alpha$ och $\beta$.

    Error converting from LaTeX to MathML

Albiki

Hej!

Ekvationssystemet är

    Error converting from LaTeX to MathML

Albiki

Bra förklaringar från Albiki, jag har bara en invändning. Matris A är inte symmetriskt. Därför även om egenvärden blev rätt, blir egenvektorerna inte ortogonala. Om jag räknar rätt blir de här (ej normerade) t.ex. $\left[\begin{array}{c}1\\ 1+\sqrt{31}/3\end{array}\right]$ och $\left[\begin{array}{c}1\\ 1-\sqrt{31}/3\end{array}\right]$. Diagonaliseringstransformationen innehåller av samma anledning inte P och dess transponering, men P och dess invers (P är inte ortogonal och då är transponeringen och inversen inte samma)