Matris som uppfyller polynomekvation.

Hej!

Det var ett tag sedan vi hade en kluring här på forumet, så här kommer ett problem från en bok i linjär algebra som jag tyckte var lite småroligt. Det lyder:

Den kvadratiska matrisen $A$ uppfyller $p(A)=0$ där $p(x)$ är ett polynom sådant att $p(0)\neq0$ .

a) Visa att $A$ är inverterbar.

b) Bestäm inversen $A^{-1}$ om $p(x)=x^2-7x+6$

c) Låt $\cos(X)$ för en matris $X$ definieras av Maclaurinutvecklingen för cosinus. Den kvadratiska matrisen $B$ är sådan att $\cos(B)=0$ . Bestäm inversen till $B$ .

Visa spoiler

a) Antag P(A) = $c_{n} A^{n} + . . . + c_{k} A^{k} + c I$ . Eftersom p(0) inte är 0 kan inte c vara 0. Eftersom inte c är 0, men P(A) är 0 måste det finnas minst en nollskild koefficient utöver c. Vi betecknar den minsta(sedd till index) av dessa koefficienter med $c_{k}$ . Sen ser vi lätt att $I = (- \frac{c_{n}}{c} A^{n - 1} - . . . - \frac{c_{k}}{c} A^{k - 1}) A$ och A är inverterbar.(Vi kan givetvis visa existens av högerinvers genom att faktorisera ut A till vänster istället. )

b) Vi tillämpar beviset ovan och ser att om p(A)=0 medför detta $A^{2} - 7 A + 6 = 0 \Leftrightarrow A (\frac{7}{6} - \frac{1}{6} A) = I$ . Därmed har vi en invers 7/6 - 1/6A.

c) $\cos (B) = I - \frac{B^{2}}{2!} + \frac{B^{4}}{4!} . . .$ , Eftersom serien är absolutkonvergent kan vi flytta om termerna och eftersom cos(B) är 0 får vi: $I = B (\frac{B}{2} - \frac{B^{3}}{4!} + . . . .)$ där uttrycket inom parentes är inversen.

parveln skrev:
Visa spoiler
a) Antag P(A) = $c_{n} A^{n} + . . . + c_{k} A^{k} + c I$ . Eftersom p(0) inte är 0 kan inte c vara 0. Eftersom inte c är 0, men P(A) är 0 måste det finnas minst en nollskild koefficient utöver c. Vi betecknar den minsta(sedd till index) av dessa koefficienter med $c_{k}$ . Sen ser vi lätt att $I = (- \frac{c_{n}}{c} A^{n - 1} - . . . - \frac{c_{k}}{c} A^{k - 1}) A$ och A är inverterbar.(Vi kan givetvis visa existens av högerinvers genom att faktorisera ut A till vänster istället. )

b) Vi tillämpar beviset ovan och ser att om p(A)=0 medför detta $A^{2} - 7 A + 6 = 0 \Leftrightarrow A (\frac{7}{6} - \frac{1}{6} A) = I$ . Därmed har vi en invers 7/6 - 1/6A.
c) $\cos (B) = I - \frac{B^{2}}{2!} + \frac{B^{4}}{4!} . . .$ , Eftersom serien är absolutkonvergent kan vi flytta om termerna och eftersom cos(B) är 0 får vi: $I = B (\frac{B}{2} - \frac{B^{3}}{4!} + . . . .)$ där uttrycket inom parentes är inversen.

Snyggt!

Det var ungefär så jag också tänkt.

Svara