Matris för linjär avbildning vid spegling och projicering

Jag behöver hjälp med följande uppgift

Bestäm matrisen A för den linjära avbildning T: R^3 -> R^3 som definieras av att man först speglar i planet 5*x_1-2*x_2+x_3=0 och sedan projicerar ner på planet 6*x_1+2x_2+x_3=0 . (Positivt orienterat ON-system).

Jag har fått hjärnsläpp, jag har kommit fram till att jag vill få fram matrisen för speglingen S och matrisen för projiceringen P och sedan ta P*S för att få fram matris A. Normalen för speglingen (5, -2, 1) och för projiceringen (6, 2, 1) vet jag att jag ska använda mig av.

Jag har börjat såhär
x = x_1+5t
y=x_2-2t
z=x_3+t
satt in detta i planets ekvation
5(x_1+5t)-2(x_2+2t)+(x_3+t)=0
Får sen ut att t = 1/30 (-5x_1+2x_2-x_3)

Men inser att jag någonstans redan här är fel ute. Är det någon som kan hjälpa mig in i rätt riktning?

Just nu har du ställt dig i punkten $(x_1,x_2,x_3)$ och sedan tagit $t$ steg i normalens riktning. Det är åt fel håll och du vet inte hur långt du ska gå.

Du har hamnat i punkten $(x_1,x_2,x_3)+t(5,-2,1)$ , men du vill hamna i den blå punkten $(x_1^\prime,x_2^\prime,x_3^\prime)$ . Dessutom försöker du sätta in punkten i planets ekvation, det ska du inte göra.

En vanlig formel man använder sig av för spegling är $\vec{x}^\prime = \vec{x}-2\frac{\vec{n}\cdot\vec{x}}{\|\vec{n}\|^2}\vec{n}$ . Den betyder att man ställer sig i punkten $(x_1,x_2,x_3)$ och sedan går -2 lagom långa steg ned till den blå punkten.

Men jag rekommenderar att du försöker förstå varifrån formeln kommer, t.ex. genom att leta upp formeln eller avsnittet om spegling i din lärobok / dina föreläsningsanteckningar.

Sedan kan du spegla basvektorerna en och en för att hitta speglingens matris.

Okej tack för förståelsen, då är jag helt ute och cyklar med andra ord.
Mycket pedagogisk bild, nu förstår jag bättre vad det är jag ska göra.
I formeln för spegling som du skrev är n=normalen om jag tolkar rätt men vad står x för? Ska jag sätta in värdet för x_1, x_2 och x_3 där?

Ja, $\vec{x}$ är punkten du vill spegla, $\vec{x}=(x_1,x_2,x_3)$ och $\vec{n}$ är planets normal. Du vill gå 2 lagom långa steg ned till den blå punkten. Man normerar genom att dela med normalens längd i kvadrat som du ser i formeln. Det gör steget exakt lagom långt (man projicerar egentligen $\vec{x}$ på normalen, ett annat sätt att skriva det är $\mathbf{x}^\prime=\mathbf{x}-2\mathrm{Proj}_{\mathbf{n}}(\mathbf{x})$ ).

Svara

Visa senaste svar