Matris

Hej, det är såhär att jag försöker förstå en uppgift som min lärare har hjälpt mig med men jag hänger inte med på varje steg och undrar om någon kunde förklara? Man ska alltså lösa ekvationssystemet Ax=b med iterationsmetod.

Där A matrisen är 4x4 matris och B är 1x4 matris.

$A = (\begin{matrix} 2 & 10 & 0 & - 1 \\ 0 & - 1 & 1 & 5 \\ 5 & 1 & 0 & 0 \\ - 1 & 0 & 10 & 0 \end{matrix}) o c h B = (\begin{matrix} 30 \\ 25 \\ 10 \\ 70 \end{matrix})$

Och då byter de raderna för att det finns ett dominerande tal som inte ligger i samma kolonn så blir ekvationen:

$(\begin{matrix} 5 & 1 & 0 & 0 \\ 2 & 10 & 0 & - 1 \\ - 1 & 0 & 10 & 0 \\ 0 & - 1 & 1 & 5 \end{matrix}) x = (\begin{matrix} 10 \\ 30 \\ 70 \\ 25 \end{matrix}) s o m k a n s k r i v a s s o m [(\begin{matrix} 5 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 10 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 10 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 5 \end{matrix}) + (\begin{matrix} 0 & 1 & 0 & 0 \\ 2 & 0 & 0 & - 1 \\ - 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 1 & 1 & 0 \end{matrix})] x = (\begin{matrix} 10 \\ 30 \\ 70 \\ 25 \end{matrix})$

Hit förstår jag men resten så blir jag förvirrad.

Kan det vara såhär att högerledet nedanför är vår $φ (x)$ och vänsterledet x för flera funktioner? För vi söker ju efter fixpunkten. Och då antar jag att man använder iterationen $x^{(k + 1)} = φ (x^{(k)})$

$x = (\begin{matrix} 2 \\ 3 \\ 7 \\ 5 \end{matrix}) + (\begin{matrix} 0 & - 0.2 & 0 & 0 \\ - 0.2 & 0 & 0 & 0.1 \\ 0.1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0.2 & - 0.2 & 0 \end{matrix}) x$ Men jag förstår ändå inte hur man kommer fram till 0 -0.2 0 0 osv

Sen så använder hon sig av Gauss-Seidels metod med startvektor $x^{(0)} = (2, 3, 7, 5)^{T}$

Och då blir ett steg: $x^{(1)} = φ (x^{(0)})$

Och det ger: $x^{(1)} = (\begin{matrix} 2 - 0.6 \\ 2 - 0.2 * 1.4 + 0.1 * 5 \\ 7 + 0.1 * 1.4 \\ 5 + 0.2 * 3.22 - 0.2 * 7.14 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 1.4 \\ 3.22 \\ 7.14 \\ 4.216 \end{matrix}) o c h x^{(1)} = (\begin{matrix} 1.356 \\ 3.150 \\ 7.136 \\ 4.203 \end{matrix})$ Jag förstår inte riktigt hur man kommer fram till ex 2-0.6

Tror inte att jag har problem med beräkningarna utan det är att jag vill förstå vad man gör och varför och undrar om någon vill förklara för mig?

Tacksam på förhand!

Hej!

Gauss-Seidels metod finner en följd av approximationer $\{x_1,x_2,...\}$ till lösningen för ekvationssystemet

$Ax=b$ .

Metoden bygger på uppdelningen av matrisen $A$ i en nedre triangulär matris ( $L$ ) och en uppåt triangulär matris ( $U$ ).

$\displaystyle b = Lx + Ux\Leftrightarrow Lx = b - Ux\Leftrightarrow x = L^{-1}(b-Ux)$ .

Låt $\phi$ beteckna matrisfunktionen

$\phi(x) = L^{-1}(b-Ux)$ .

En fixpunkt till denna matrisfunktion är också en lösning till ekvationssystemet $Ax=b$ . Det är med hjälp av denna matrisfuntion som följden av approximationer $\{x_1,x_2,...\}$ skapas.

$\displaystyle x_{n+1} = \phi(x_n)$ .

Om matrisfunktionen krymper avstånd mellan vektorer (en kontraktiv avbildning) så konvergerar approximationsföljden mot lösningen (x) till ekvationssystemet.

Albiki

Albiki skrev :
Hej!
Gauss-Seidels metod finner en följd av approximationer $\{x_1,x_2,...\}$ till lösningen för ekvationssystemet
$Ax=b$ .
Metoden bygger på uppdelningen av matrisen $A$ i en nedre triangulär matris ( $L$ ) och en uppåt triangulär matris ( $U$ ).
$\displaystyle b = Lx + Ux\Leftrightarrow Lx = b - Ux\Leftrightarrow x = L^{-1}(b-Ux)$ .
Låt $\phi$ beteckna matrisfunktionen
$\phi(x) = L^{-1}(b-Ux)$ .
En fixpunkt till denna matrisfunktion är också en lösning till ekvationssystemet $Ax=b$ . Det är med hjälp av denna matrisfuntion som följden av approximationer $\{x_1,x_2,...\}$ skapas.
$\displaystyle x_{n+1} = \phi(x_n)$ .
Om matrisfunktionen krymper avstånd mellan vektorer (en kontraktiv avbildning) så konvergerar approximationsföljden mot lösningen (x) till ekvationssystemet.
Albiki

Tack så mycket för förklaringen!

Svara