6 svar
205 visningar
Creepzzz behöver inte mer hjälp
Creepzzz 95 – Fd. Medlem
Postad: 23 apr 2020 20:20

Matris

Hej! Jag har ser att detta bildar en 7x7 matris Ax = b, så min gissning är att det finns en unik lösning för varje b men jag vet inte hur jag ska bevisa det. 

cjan1122 416
Postad: 23 apr 2020 20:57 Redigerad: 23 apr 2020 20:58

Måste det vara överbestämt eller kan en eller flera av ekvationerna vara en linjärkombination av andra ekvationer i systemet? 

PATENTERAMERA 5931
Postad: 24 apr 2020 01:17

x  Ax är en linjär avbildning från 6 till 7.

Det finns, som du kanske vet, en formel som säger att

dim(6) = dim(N(A)) + rank(A).

Här är N(A) nollrummet till A och rank(A) är dimensionen hos A:s bildrum im(A) (dvs rank(A) = dim(im(A))).

Eftersom N(A) är ett underrum till 6 så gäller det att 0  dim(N(A))  6. Detta betyder i sin tur att rank(A)  7, vilket betyder att im(A)  7. Det medför att avbildningen x  Ax inte är  surjektiv. Ett annat sätt att se detta på är att inse att im(A) är det linjära spannet hos kolumnerna hos matrisen A. Eftersom A bara har 6 kolumner så kan dessa inte spänna upp 7, det krävs åtminstone 7 vektorer för att spänna upp 7.

Vi har nu att lösa ekvationen Axb.

Om bim(A) - och som vi sett så är det alltid en möjlighet - så finns det ingen lösning.

Om bim(A) så finns det åtminstone en lösning x0.

Den generella lösningsmängden, som vi skall se, ges av x0 + N(A). Det betyder att x0 är en unik lösning om och endast om N(A) endast har nollvektorn (i 6) som element.

Låt R beteckna hela lösningsmängden till vår ekvation.

Antag att xx0 + N(A). Det finns då en vektor n i N(A) sådan att xx0n. Varför vi har Ax = A(x0n) = Ax0 + Anb + 0 = b. Vilket betyder att x0 + N(A)  R.

Antag nu att xR. Vi har då Axb, vilket implicerar att A(xx0) = Ax - Ax0bb = 0. Vilket medför att xx0  N(A), vilket är det samma som x  x0 + N(A). Detta betyder i sin tur att R  x0 + N(A).

Vi har således visat att R = x0 + N(A).

Du kan visa att följande saker är ekvivalenta:

I. Det enda elementet i N(A) är nollvektorn.

II. Avbildningen x  Ax är injektiv.

III. Kolumnerna hos matrisen A är linjärt oberoende.

Creepzzz 95 – Fd. Medlem
Postad: 24 apr 2020 11:23

Hej! Tack snälla snälla för ditt svar! Hur bevisar jag ekvivalsensen på slutet? Har ju ingen matris med siffror så har lite svårt för att se exakt hur jag ska göra. Resten förstår jag :)

PATENTERAMERA 5931
Postad: 24 apr 2020 12:36 Redigerad: 24 apr 2020 12:55

Eftersom vi inte fått några detaljer om matrisen A, kan vi bara säga att om det finns en lösning x till ekvationen Axb så är lösningen unik om och endast om kolumnerna i A är linjärt oberoende. Vi vet även att det finns värden på b för vilka ekvationen saknar lösning.

Visar att I II.

Antag att I gäller. Om Ax = Ay så har vi att 0 = Ax - Ay = A(x - y). Dvs x - N(A). Men eftersom N(A) endast innehåller nollvektorn så betyder det att x - y = 0 x = y, så avbildningen är injektiv, och vi har att I II.

Antag att II gäller. N(A) är lösningsrummet till ekvationen Ax = 0. Uppenbarligen är A0 = 0,  så nollvektorn ingår, som alltid, i N(A). Men om avbildningen x Ax är injektiv så kan ekvationen Ax = 0 ha som mest en lösning. Därför vet vi att 0 är den enda lösningen till Ax = 0, och N(A) innehåller därför endast nollvektorn, och vi har att II I.

Jag lämnar de övriga ekvivalenserna som en (fundamental) övning till läsaren. Ett tips är dock att se matrisen A som uppbyggd av kolumnvektorer C1C2, ..., C6. Vi har då att avbildningen x Ax kan skrivas

xx1x2x6 k=16xkCk.

Antag nu att kolumnvektorerna Ck är linjärt oberende (III) och visa att detta är ekvivalent med I eller II.

Creepzzz 95 – Fd. Medlem
Postad: 25 apr 2020 16:25

Tack snälla! Din hjälp har varit guld värd!! Detta innebär alltså att det finns en unik lösning för varje b? 

PATENTERAMERA 5931
Postad: 25 apr 2020 18:34

Nej. Läs första stycket i mitt andra inlägg igen.

A) Det kommer alltid att finnas högerled b för vilka ekvationen saknar lösning.

B) Om ekvationen har någon lösning x0 så är detta en unik lösning om och endast om kolumnerna i matrisen A är linjärt oberoende.

Svara
Close