Matris

Måste det vara överbestämt eller kan en eller flera av ekvationerna vara en linjärkombination av andra ekvationer i systemet? 

x $\mapsto$ Ax är en linjär avbildning från ${\mathrm{ℝ}}^6$ till ${\mathrm{ℝ}}^7$.

Det finns, som du kanske vet, en formel som säger att

dim(${\mathrm{ℝ}}^6$) = dim(N(A)) + rank(A).

Här är N(A) nollrummet till A och rank(A) är dimensionen hos A:s bildrum im(A) (dvs rank(A) = dim(im(A))).

Eftersom N(A) är ett underrum till ${\mathrm{ℝ}}^6$ så gäller det att 0 $\le$ dim(N(A)) $\le$ 6. Detta betyder i sin tur att rank(A) $\ne$ 7, vilket betyder att im(A) $\ne$ ${\mathrm{ℝ}}^7$. Det medför att avbildningen x $\mapsto$ Ax inte är  surjektiv. Ett annat sätt att se detta på är att inse att im(A) är det linjära spannet hos kolumnerna hos matrisen A. Eftersom A bara har 6 kolumner så kan dessa inte spänna upp ${\mathrm{ℝ}}^7$, det krävs åtminstone 7 vektorer för att spänna upp ${\mathrm{ℝ}}^7$.

Vi har nu att lösa ekvationen Ax = b.

Om b$\notin$im(A) - och som vi sett så är det alltid en möjlighet - så finns det ingen lösning.

Om b$\in$im(A) så finns det åtminstone en lösning x₀.

Den generella lösningsmängden, som vi skall se, ges av x₀ + N(A). Det betyder att x₀ är en unik lösning om och endast om N(A) endast har nollvektorn (i ${\mathrm{ℝ}}^6$) som element.

Låt R beteckna hela lösningsmängden till vår ekvation.

Antag att x$\in$x₀ + N(A). Det finns då en vektor n i N(A) sådan att x = x₀ + n. Varför vi har Ax = A(x₀ + n) = Ax₀ + An = b + 0 = b. Vilket betyder att x₀ + N(A) $\subset$ R.

Antag nu att x$\in$R. Vi har då Ax = b, vilket implicerar att A(x - x₀) = Ax - Ax₀ = b - b = 0. Vilket medför att x - x₀ $\in$ N(A), vilket är det samma som x $\in$ x₀ + N(A). Detta betyder i sin tur att R $\subset$ x₀ + N(A).

Vi har således visat att R = x₀ + N(A).

Du kan visa att följande saker är ekvivalenta:

I. Det enda elementet i N(A) är nollvektorn.

II. Avbildningen x $\mapsto$ Ax är injektiv.

III. Kolumnerna hos matrisen A är linjärt oberoende.

Hej! Tack snälla snälla för ditt svar! Hur bevisar jag ekvivalsensen på slutet? Har ju ingen matris med siffror så har lite svårt för att se exakt hur jag ska göra. Resten förstår jag :)

Eftersom vi inte fått några detaljer om matrisen A, kan vi bara säga att om det finns en lösning x till ekvationen Ax = b så är lösningen unik om och endast om kolumnerna i A är linjärt oberoende. Vi vet även att det finns värden på b för vilka ekvationen saknar lösning.

Visar att I $\iff$II.

Antag att I gäller. Om Ax = Ay så har vi att 0 = Ax - Ay = A(x - y). Dvs x - y $\in$ N(A). Men eftersom N(A) endast innehåller nollvektorn så betyder det att x - y = 0 $\iff$x = y, så avbildningen är injektiv, och vi har att I $\Rightarrow$II.

Antag att II gäller. N(A) är lösningsrummet till ekvationen Ax = 0. Uppenbarligen är A0 = 0,  så nollvektorn ingår, som alltid, i N(A). Men om avbildningen x $\mapsto$Ax är injektiv så kan ekvationen Ax = 0 ha som mest en lösning. Därför vet vi att 0 är den enda lösningen till Ax = 0, och N(A) innehåller därför endast nollvektorn, och vi har att II $\Rightarrow$I.

Jag lämnar de övriga ekvivalenserna som en (fundamental) övning till läsaren. Ett tips är dock att se matrisen A som uppbyggd av kolumnvektorer C₁, C₂, ..., C₆. Vi har då att avbildningen x $\mapsto$Ax kan skrivas

x = $\left[\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ ⋮\\ x_6\end{array}\right]$ $\mapsto$ $\sum _{k=1}^6{x}_k{\mathit{C}}_k$.

Antag nu att kolumnvektorerna C_k är linjärt oberende (III) och visa att detta är ekvivalent med I eller II.

Tack snälla! Din hjälp har varit guld värd!! Detta innebär alltså att det finns en unik lösning för varje b? 

Nej. Läs första stycket i mitt andra inlägg igen.

A) Det kommer alltid att finnas högerled b för vilka ekvationen saknar lösning.

B) Om ekvationen har någon lösning x₀ så är detta en unik lösning om och endast om kolumnerna i matrisen A är linjärt oberoende.