15 svar
290 visningar
kwalker2 84 – Fd. Medlem
Postad: 1 nov 2018 14:04 Redigerad: 1 nov 2018 14:37

Mathematica - Summor

Hej. Håller på och lär mig Mathematica och har fått i en övningsuppgift att beräkna summan av detta uttryck:

Det jag främst inte vet är hur man räknar ut funktionen.

Det jag inte heller förstår är vad som menas med att uttrycket måste göras om till ett flyttal för att det ska kännas igen? 

Tack på förhand.

Laguna 30251
Postad: 1 nov 2018 14:31

Vad menar du med att funktionen blir 1? Vad blir (-1)k+12k-1när du sätter in t.ex. k = 2?

kwalker2 84 – Fd. Medlem
Postad: 1 nov 2018 14:36
Laguna skrev:

Vad menar du med att funktionen blir 1? Vad blir (-1)k+12k-1när du sätter in t.ex. k = 2?

 K=1 i nedre delen, dum som jag är så hade jag fått för mig att man endast skulle sätta det k i funktionen för att räkna ut summan enkelt, men så är ju uppenbarligen inte fallet. Jag editar posten. Hur som helst, så behöver jag hjälp med hur man går tillväga för att lösa ekvationen.

Guggle 1364
Postad: 1 nov 2018 14:37

Du har förmodligen missat någon parentes eller använt funktionen Sum[] fel när du matat in din summa. För de 50 första termerna ser det ut så här:

Om dragen till oändligheten är det den berömda Gregory-Leibniz-summan, du kan läsa mer om den här: http://mathworld.wolfram.com/GregorySeries.html

Laguna 30251
Postad: 1 nov 2018 14:43 Redigerad: 1 nov 2018 14:44

Ska du använda en web-version av Mathematica? Vilken sida ska du använda? Det svåra borde bara vara att hitta rätt sida och sedan mata in uttrycket korrekt. Grejen med flyttal är att Mathematica räknar ut summan exakt, så du får ett oerhört stort bråk, som du får göra till decimaltal. Det finns säkert flera metoder, men en är att skriva 4 som decimaltal: 4.0.

Laguna 30251
Postad: 1 nov 2018 14:47 Redigerad: 1 nov 2018 14:48

Här är sidan jag använde, med en enklare formel: https://www.wolframalpha.com/input/?i=sum+1%2Fk,+k%3D1+to+10

Kallaskull 692
Postad: 1 nov 2018 15:01

jag kollade in några standard expansioner och serien börjar med 1-13+15-17+19 osv vilket är ganska likt 11+x=1-x+x2-x3+x4... Jag vet inte riktigt hur man skulle kunna gå vidare här ifrån

kwalker2 84 – Fd. Medlem
Postad: 1 nov 2018 15:06
Guggle skrev:

Du har förmodligen missat någon parentes eller använt funktionen Sum[] fel när du matat in din summa. För de 50 första termerna ser det ut så här:

Om dragen till oändligheten är det den berömda Gregory-Leibniz-summan, du kan läsa mer om den här: http://mathworld.wolfram.com/GregorySeries.html

 Aha okej. Då den är dragen till 1000 så borde det bli ett extremt stort tal som Laguna skrev. Ska jag först räkna ut med Sum[] för att sedan ta det stora svaret som: N[svaret]? 

AlvinB 4014
Postad: 1 nov 2018 15:11 Redigerad: 1 nov 2018 15:14

Om man nu är intresserad av att beräkna när serien går mot oändligheten (vilket inte är vad uppgiften frågar efter, men det kan väl vara kul ändå) kan man använda sig av den geometriska serien med -x2-x^2:

11+x2=n=0-x2n\displaystyle\frac{1}{1+x^2}=\sum_{n=0}^{\infty} \left(-x^2\right)^n

Integrerar man sedan båda sidor får man arctan-integralen i vänsterled:

11+x2 dx=n=0-x2n dx\displaystyle\int\frac{1}{1+x^2}\ dx=\int\sum_{n=0}^{\infty}\left(-x^2\right)^n\ dx

arctanx=n=0(-1)n2n+1x2n+1\displaystyle\arctan\left(x\right)=\sum_{n=0}^{\infty}\dfrac{(-1)^n}{2n+1}x^{2n+1}

och sätter man in x=1x=1 och trixar med lite gränser får man:

arctan1=k=1(-1)k+12k-1\displaystyle\arctan\left(1\right)=\sum_{k=1}^{\infty}\frac{(-1)^{k+1}}{2k-1}

kwalker2 84 – Fd. Medlem
Postad: 1 nov 2018 15:13
AlvinB skrev:

Om man nu är intresserad av att beräkna när serien går mot oändligheten (vilket inte är vad uppgiften frågar efter, men det kan väl vara kul ändå) kan man använda sig av den geometriska serien med -x2-x^2:

11+x2=n=0-x2n\displaystyle\frac{1}{1+x^2}=\sum_{n=0}^{\infty} \left(-x^2\right)^n

Integrerar man sedan båda sidor får man arctan-integralen i vänsterled:

$$\displaystyle\int \frac{1}{1+x^2}\ dx=\int \sum_{n=0}^{\infty} \left(-x^2\right)^n\ dx$$

arctanx=n=0(-1)n2n+1x2n+1\displaystyle\arctan\left(x\right)=\sum_{n=0}^{\infty}\dfrac{(-1)^n}{2n+1}x^{2n+1}

och sätter man in x=1x=1 och trixar med lite gränser får man:

arctan1=n=1(-1)k+12k-1\displaystyle\arctan\left(1\right)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{k+1}}{2k-1}

 Okej, har du något tips till min fråga om själva uppgiften?

AlvinB 4014
Postad: 1 nov 2018 15:18

Gör som du föreslår i ditt föregående inlägg:

Använd Sum[] för att beräkna summan och använd sedan N[] för att få en decimalapproximation.

kwalker2 84 – Fd. Medlem
Postad: 1 nov 2018 15:20
AlvinB skrev:

Gör som du föreslår i ditt föregående inlägg:

Använd Sum[] för att beräkna summan och använd sedan N[] för att få en decimalapproximation.

 Aha okej! En fråga bara, vad gör 4:an framför summationssymbolen? Multiplicerar den med svaret med 4, eller är det mer komplicerat än så?

Guggle 1364
Postad: 1 nov 2018 15:22
kwalker2 skrev:
Aha okej. Då den är dragen till 1000 så borde det bli ett extremt stort tal som Laguna skrev. Ska jag först räkna ut med Sum[] för att sedan ta det stora svaret som: N[svaret]? 

Ja,

4*Sum[(-1)^(k + 1)/(2*k - 1), {k, 1, 1000}]

Ger dig summan. Om svaret hamnar i t.ex. Out[3] skriver du

N[%3]

För att få ett numeriskt värde på svaret.

Du kan också skriva 4*Sum[(-1)^(k + 1)/(2*k - 1), {k, 1, 1000}]//N

För att få ett numeriskt värde direkt.

Limit[4*Sum[(-1)^(k + 1)/(2*k - 1), {k, 1, N}], N -> \[Infinity]]

Ger dig den exakta summan dragen till oändligheten.

AlvinB 4014
Postad: 1 nov 2018 15:28
kwalker2 skrev:
AlvinB skrev:

Gör som du föreslår i ditt föregående inlägg:

Använd Sum[] för att beräkna summan och använd sedan N[] för att få en decimalapproximation.

 Aha okej! En fråga bara, vad gör 4:an framför summationssymbolen? Multiplicerar den med svaret med 4, eller är det mer komplicerat än så?

 Som Guggle nämner ska du bara multiplicera summan med den, ja. Du får även samma svar om du multiplicerar in den med uttrycket i summan eftersom multiplikation är distributivt med avseende på addition.

Anledningen till att man multiplicerar summan med fyra blir uppenbar när du kollar på decimalutvecklingen. Det är nämligen så att summan går mot en välkänd konstant delat med fyra, och då multiplicerar man med fyra för att man ska få bara konstanten.

kwalker2 84 – Fd. Medlem
Postad: 1 nov 2018 15:36

Då förstår jag! Det var instruktionen med flyttalet jag inte förstod som strulade till det för mig, men nu har jag fått grepp om det. 

Det jag gjorde var att jag skapade en variabel som hette sumLargeValue som sattes lika med 4 * Sum[Funktionen]. När jag sedan använde N[] så skrev jag bara in variabeln inom parameterna. Så i stort sett som en variabel inom programmering. 

Tack så mycket för hjälpen :)

Smaragdalena 80504 – Avstängd
Postad: 1 nov 2018 17:51
kwalker2 skrev:
Laguna skrev:

Vad menar du med att funktionen blir 1? Vad blir (-1)k+12k-1när du sätter in t.ex. k = 2?

 K=1 i nedre delen, dum som jag är så hade jag fått för mig att man endast skulle sätta det k i funktionen för att räkna ut summan enkelt, men så är ju uppenbarligen inte fallet. Jag editar posten. Hur som helst, så behöver jag hjälp med hur man går tillväga för att lösa ekvationen.

 kwalker2, det står i Pluggakuten att du inte frår "redigera ihjäl" ett inlägg  när det har blivit besvarat - nu är ju Lagunas inlägg obegripligt, eftersom det försvunnit från ditt inlägg. Däremot är det tillåtet att stryka över det som har blivit fel och skriva dit det rätta. /moderator

Svara
Close