Matematisk statistik, två exponentialfördelade komponenters livslängd

Hejsan,

Jag sitter med följande uppgift:

"Ett system består av två komponenter som arbetar parallellt. Systemet fungerar så länge minst en av komponenterna fungerar. Varje komponent har exponentialfördelad livslängd med parameter $λ$ . Bestäm fördelningsfunktionen för systemets livslängd Y."

Jag har räknat enligt följande:

$S t o k a s t i s k a v a r i a b l e r : A = F ö r s t a k o m p o n e n t s l i v s l ä n g d B = A n d r a k o m p o n e n t s l i v s l ä n g d Y = S y s t e m e t s l i v s l ä n g d F_{Y} (x) = P (Y \leq x) = P (m a x (A, B) \leq x) = = F_{A} (x) \times F_{B} (x) = \int λ e^{- λ x} d x \times \int λ e^{- λ x} d x = = - e^{- λ x} \times - e^{- λ x} = e^{- 2 λ x}, x \geq 0$

Något som är exponentialfördelad har ju täthetsfunktionen $f_{X} (x) = λ e^{- λ x}$ och, såvida jag har förstått det rätt, så ska den primitiva funktionen $\int f_{X} (x) d x$ bli lika med fördelningsfunktionen $F_{X} (x)$ .

Svaret är däremot: $F_{Y} (x) = (1 - e$ ^-λx)2, x≥0

Vad kommer 1:an ifrån? Boken ger mig inget svar, i alla fall inte som jag kan koppla till denna uppgiften.

Man brukar räkna ut sånt här med hjälp av komplementet. Sannolikheten att minst en funkar är 1-P(båda trasiga).

Micimacko skrev:
Man brukar räkna ut sånt här med hjälp av komplementet. Sannolikheten att minst en funkar är 1-P(båda trasiga).

Ja okej, misstänkte att det är något komplement som kryper sig in någonstans men förstår rent logiskt inte vart i mina uträkningar som det ska komma ett komplement?

Tänker att jag nu räknade ut sannolikheten att båda två ska fungera men om jag tar komplementet på det blir det väl sannolikheten på att ingen fungerar istället för att minst en ska fungera?

Vad missar jag här?

Komplementet till att båda fungerar är att minst en är trasig. Det räcker inte för att säga om det totalt kommer att gå bra eller inte.

Sen har du missat gränser på integralerna. Struntar du i dem måste det läggas till +C för att säkert bli rätt.

Micimacko skrev:
Komplementet till att båda fungerar är att minst en är trasig. Det räcker inte för att säga om det totalt kommer att gå bra eller inte.
Sen har du missat gränser på integralerna. Struntar du i dem måste det läggas till +C för att säkert bli rätt.

Okej så är detta ett matematiskt korrekt sätt att utföra det hela?

$F_{Y} (x) = P (Y \leq x) = P (m a x (A, B) \leq x) = = [V i v i l l t a r e d a p å n ä r b å d e A o c h B ä r k o m p l e m e n t e t, d v s " i c k e f u n g e r n a d e "] = = (1 - F_{A} (x)) \times (1 - F_{B} (x)) = (1 - \int_{- \infty}^{x} λ e^{- λ x} d x) \times (1 - \int_{- \infty}^{x} λ e^{- λ x} d x) = = [S e d a n v i l l v i v e t a k o m p l e m e n t e t t i l l d e t f ö r a t t v e t a n ä r " m i n s t e n ä r f u n g e r n a d e "] = = 1 - ((1 - \int_{- \infty}^{x} λ e^{- λ x} d x) \times (1 - \int_{- \infty}^{x} λ e^{- λ x} d x)) = 1 - ((1 - - e^{- λ x}) \times (1 - - e^{- λ x})) = (S i s t a b i t e n g å r e j a t t s k r i v a i M a t h T y p e, ä r n i o n d e g å n g e n j a g f ö r s ö k e r s k r i v a h ä r .)$

= 1-(1+e^(-λx))^2 , alltså inte samma som facit.

Men detta är ju fortfarande inte rätt svar :(

Tror att jag också har lyckats röra ihop det någonstans. Fa och Fb är ju redan sannolikheten att den är trasig. Tyckte det kändes mer logiskt att räkna ut om det skulle funka ;P Så det enda som egentligen var fel från början var nog integralgränserna. Integrera från 0 till x så borde det bli rätt.

Micimacko skrev:
Tror att jag också har lyckats röra ihop det någonstans. Fa och Fb är ju redan sannolikheten att den är trasig. Tyckte det kändes mer logiskt att räkna ut om det skulle funka ;P Så det enda som egentligen var fel från början var nog integralgränserna. Integrera från 0 till x så borde det bli rätt.

Ja okej, nu blev det kalas! Men i min bok står det att man kan ta fram $F_{X} (x) = \int_{- \infty}^{x} f_{X} (u) d u$ .

Vad är det som gör att jag fick välja den nedre gränsen som 0? Hade hjälpt inför framtida uppgifter att veta varför detta avviker från boken :)

Täthetsfunktionen är ju 0 innan x, så du får dela i 2 integraler då där första ändå bara blir 0.

Svara

Visa senaste svar