Matematisk Statistik, Icke-linjära funktioner, 5.11 (K.Vännman)

En lampas livslängd (T) är exponentialfördelad med väntevärde 10 timmar. Det innebär att fördelningsfunktionen för en lampas livslängd är $P(t\le T)=1-e^{-\frac{t}{10}}$, där t är tiden lampan brinner. Sannolikheten att en lampa brinner i mindre än tio timmar är då $P(t\le 10)=1-e^{-\frac{10}{10}}=1-\frac{1}{e}\approx 0,63$.

Om vi istället vill undersöka sannolikheten att en lampa brinner i mer än T timmar, $P(t>T)$, kan den beräknas med en komplementhändelse: $P(t>T)=1-P(t\le T)$, vilket för vår lampa blir $P(t>T)=1-P(t\le T)=1-\left(1-e^{-\frac{t}{10}}\right)=e^{-\frac{t}{10}}$. 

Sannolikheten att en lampa brinner i mer än T timmar är alltså $P(t>T)=e^{-\frac{t}{10}}$.

I en seriekoppling måste alla komponenter fungera – så fort en komponent dör, slutar hela serien att fungera. De ingående komponenterna påverkar inte varandra, en komponent kan fortsätta fungera trots att de andra inte gör det, men alla måste fungera för att serien ska göra det. 

Sannolikheten att alla fem komponenter fungerar längre än T timmar är därför $P\left(t>T\right)=e^{-\frac{t}{10}}·e^{-\frac{t}{10}}·e^{-\frac{t}{10}}·e^{-\frac{t}{10}}·e^{-\frac{t}{10}}={\left(e^{-\frac{t}{10}}\right)}^5=e^{-\frac{t}{2}}$

Spännande! Vi har alltså en ny exponentialfördelning med $\lambda=\frac{1}{2}$. Vad har den för sannolikhet att fungera? :)

Smutstvätt skrev:

En lampas livslängd (T) är exponentialfördelad med väntevärde 10 timmar. Det innebär att fördelningsfunktionen för en lampas livslängd är $P(t\le T)=1-e^{-\frac{t}{10}}$, där t är tiden lampan brinner. Sannolikheten att en lampa brinner i mindre än tio timmar är då $P(t\le 10)=1-e^{-\frac{10}{10}}=1-\frac{1}{e}\approx 0,63$.

Om vi istället vill undersöka sannolikheten att en lampa brinner i mer än T timmar, $P(t>T)$, kan den beräknas med en komplementhändelse: $P(t>T)=1-P(t\le T)$, vilket för vår lampa blir $P(t>T)=1-P(t\le T)=1-\left(1-e^{-\frac{t}{10}}\right)=e^{-\frac{t}{10}}$. 

 

Sannolikheten att en lampa brinner i mer än T timmar är alltså $P(t>T)=e^{-\frac{t}{10}}$.

 

I en seriekoppling måste alla komponenter fungera – så fort en komponent dör, slutar hela serien att fungera. De ingående komponenterna påverkar inte varandra, en komponent kan fortsätta fungera trots att de andra inte gör det, men alla måste fungera för att serien ska göra det. 

Sannolikheten att alla fem komponenter fungerar längre än T timmar är därför $P\left(t>T\right)=e^{-\frac{t}{10}}·e^{-\frac{t}{10}}·e^{-\frac{t}{10}}·e^{-\frac{t}{10}}·e^{-\frac{t}{10}}={\left(e^{-\frac{t}{10}}\right)}^5=e^{-\frac{t}{2}}$

 

Spännande! Vi har alltså en ny exponentialfördelning med $\lambda=\frac{1}{2}$. Vad har den för sannolikhet att fungera? :)

ah, men det är alltså väntevärdet som definierar tiden? 

Gjort på följande vis:

Ja, ungefär. Den förväntade livslängden ges av en en exponentialfördelning med väntevärde 2 (timmar). :)

Smutstvätt skrev:

Ja, ungefär. Den förväntade livslängden ges av en en exponentialfördelning med väntevärde 2 (timmar). :)

Har det inte blivit ett extra ”förväntade” här? Den förväntade livslängden är väl en konstant (2) och därför inte exponentialfördelad. Lampans livslängd är däremot exponentialfördelad med väntevärde 2

Du har helt rätt!