Matematisk statistik - diskreta fördelningar

Vad är sannolikheten att Anders känner precis en vibration i de fyra fall du har?

Hur göt msn det? vad använder man för fördelning? använder man sig av de sannolikhterna som jag fick innan 

Sandpand skrev:

Hur göt msn det? vad använder man för fördelning? använder man sig av de sannolikhterna som jag fick innan 

Inte i ett första steg nej, den första frågan är: 

givet antalet lastbilar som passerar hur stor är sannolikheten att känna exakt en vibration. Hur stor är den sannolikheten om antalet lastbilar som passerar är 0,1,2, eller 3?

När du beräknat de sannolikheterna så tillämpar man lagen om total sannolikhet, om ni gått igenom den, annars få vi resonera oss fram lite.

Lösningen är alltså i tre steg:

1) beräkna sannolikheten att ett visst antal godståg passerar, det har du redan gjort.

2) för ett givet antal passerande godståg, beräkna sannolikheten att exakt ett godståg orsakar vibrationer.

3) summa detta till den totala sannolikheten att exakt ett godståg orsakar vibrationer (lagen om total sannolikhet).

Ett alternativt sätt att lösa uppgiften finns också, då får du försöka svara på frågan "Givet att fördelningen för antalet godståg som passerar är Bin(3,0.4) vad är fördelningen för antalet godståg som passerar och orsakar vibrationer?" För att svara på den frågan behöver man tänka lite på vad binomialfördelningen betyder, alltså hur den kan tolkas.

Vi satte 3 olika fall, och Y=att tåg orsaker vibrationer  

1 där det kör 3 tåg Y∈bin(3, 0.7)

P(Y=1)= 0,189

sen Y∈bin(2, 0.7)

P(Y=1)=0,42

samt Y∈bin(1, 0.7)

P(Y=1)=0,7

ska man multiplicer P(Y) med P(X) 

alltså P(X=1)*P(Y=1)=0,432*0,7=0,3024

alltså P(X=2)*P(Y=2)=0,288*0,42=0,12

alltså P(X=3)*P(Y=3)=0,064*0,189=0,012

Är det rätt eller hur ska man göra? Vad är det man gör efter?

Allt du gjort hittils är i princip rätt men några smågrejer:

1) vi hade egentligen 4 fall men visst fallet med 0 passerande försvinner ju eftersom inget tåg då kan orsaka vibrationer.

2) viktigare poäng: det du skriver som P(Y=1) är egentligen P(Y=1|X=1), det du skriver som P(Y=2) är egentligen P(Y=1|X=2) osv. Det är betingade sannolikheter: sannolikheten att 1 tåg orsakar vibrationer givet att 1 tåg kör förbi, sannolikheten att 1 tåg orsakar vibrationer givet att2 kör förbi.

Uträkningen bör alltså se ut som följer:

alltså P(X=0)*P(Y=1|X=0)=0,216*0=0

alltså P(X=1)*P(Y=1|X=1)=0,432*0,7=0,3024

alltså P(X=2)*P(Y=1|X=2)=0,288*0,42=0,12

alltså P(X=3)*P(Y=1|X=3)=0,064*0,189=0,012

Kan du nu tillämpa lagen om total sannolikhet på ovanstående?

P(Y=1) = P(Y=1|X=1)P(X=1) + P(Y=1|Xc=1)P(Xc=1)

P(Y=1)=0,3024+0*0,568=0,3024

och ska man sedan göra så för alla? Eller är det något anat sätt??

Sandpand skrev:

P(Y=1) = P(Y=1|X=1)P(X=1) + P(Y=1|Xc=1)P(Xc=1)

P(Y=1)=0,3024+0*0,568=0,3024

och ska man sedan göra så för alla? Eller är det något anat sätt??

Det du skriver först är korrekt men lite tillkrånglat det du skriver sen är dock fel, (X=1) komplement är inte X=0.

Lagen om total sannolikhet ger helt enkelt:

$P(Y=1)=\sum _{i=0}^{3}P(Y=1|X=k\left)P\right(X=k)$

Termerna i HL har du redan beräknat, just add them up.

Så P(Y=1)= 0+0,3024+0,12+0,012=0,4344?

Är det svaret? alltså att det är 43,44% chans att känna precis 1 vibration?

Jupp det stämmer, med hänsyn till att du gjort några avrundningar på vägen.

Det andra lite smidigare sättet att lösa den här uppgiften är så här.

X är Bin(3, 0,4). Vi kan tolka det som att det finns 3 tåg som vart och ett åker förbi huset med sannolikhet 0,4.

Sannolikheten att ett tåg åker förbi huset och orsakar vibrationer är då 0,4*0,7=0,28.

Så Y, antalet tåg som åker förbi och orsakar vibrationer är Bin(3, 0,28).

P(Y=1) är då 3*0,28*0,72*0,72= 0,435456.