Matematisk statistik - Bivariat densitet - bestämma integrationsgräns

Har en svårighet med att definiera integrationsgränserna för följande fråga och funderar på vad jag missar.

Två stokastiska variabler har en simultanfördelning givet av den bivariata täthetsfunktionen

$f (x, y) = c \{\begin{cases} x + y, 0 \leq x, y \leq 1 \\ 0, a n n a r s \end{cases}$

(Funktionen f(x,y) har utseendet av ett prisma över enhetskvadraten i $ℝ^{2}$ .)
*Har valt att inte begränsa mig till enhetskvadraten då denna information är skriven som ett tillägg och inte där tillåtna värden på x och y definieras.

Bestäm c.

För att lösa uppgiften planerar jag att använda följande förutsättningar:

$\iint_{S} f (x, y) d x d y = c \cdot (a r e a o f S) = 1$
$f (x, y) \geq 0 f ö r - \infty < x < \infty, - \infty < y < \infty,$

Vi har våra gränser tidigare har vi att: $0 \leq x, y \leq 1$

Med hjälp av förutsättning 2 kan vi konstatera att villkoret $y \geq - x$ också måste gälla.

Vi får då följande område att integrera över:

Eller: $\int_{0}^{\infty} \int_{- x}^{1} c (x + y) d y d x = 1$

Med hjälp av denna integral kan jag inte bestämma ett värde på c.

Är det något villkor på övre integrationsgränsen för x som jag missar eller löser jag uppgiften fel?

Jag fattar det som att både x och y ska vara positiva tal ≤ 1.

x + y är då alltid ≥ 0 på enhetskvadraten.

Integrationsgränserna är från 0 till 1 i både x- och y-led .

Tack, men jag vet inte om jag håller med fullt ut.

Lutar du dig på tillägget angående att "Funktionen f(x,y) har utseendet av ett prisma över enhetskvadraten i $ℝ^{2}$ "

Det funderade jag också på då uppgiften då blir mycket enkel, men definitionerna för funktionen säger endast att:

x ska vara positiva tal.
y ska vara mindre än noll. (inklusive negativa tal?)

Men jag lutar åt att anta att funktionen enbart är definierad för endast enhetskvadranten även om jag anser att det inte är givet i uppgiften då det gör uppgiften och dess följduppgifter enkla att lösa.

Anledningen är att funktionen är definierad för fler värden (x,y) än endast enhetskvadraten. Det enda som är känt är att den har utseendet av en prisma över enhetskvadraten. Det tolkar inte jag som att det definierar funktionen fullständigt.

Läste om funktionens definition och inser att jag kan tolkas på två olika sätt:

Som två separerade villkor. (Vilket jag gjorde.)
Som att både x och y är begränsade mellan noll och ett. vilket gör uppgiften mycket enkel.
Jag tror nu att tolkning 2 är korrekt och ser frågan som besvarad.

Tack!

Svara

Visa senaste svar