Matematisk Statistik, Betingad sannolikhet, 2.21

(b) och (d) är exempel på betingad sannolikhet. Betingning innebär i princip att utfallsrummet har smalnats av, genom information man vet på förhand (eller utgår ifrån, då det är de specifika situationerna man vill utgå ifrån). Den betingade sannolikheten för B, givet A, skrivs som $P\left(B|A\right)$, och beräknas genom formeln $P\left(B|A\right)=\frac{P(B\cap A)}{P\left(A\right)}$. P(A) är utfallsrummet vi är intresserade av, i (b) är detta Hög Br-halt. 

Detta betyder att $\mathrm{P}(\mathrm{hög} \mathrm{Cl} | \mathrm{hög} \mathrm{Br})=\frac{\mathrm{P}(\mathrm{hög} \mathrm{Cl} \cap \mathrm{hög} \mathrm{Br})}{\mathrm{P}(\mathrm{hög} \mathrm{Br})}$. 

$\mathrm{P}(\mathrm{hög} \mathrm{Cl} \cap \mathrm{hög} \mathrm{Br})$ kan vi läsa av direkt från tabellen – det är sannolikheten att både Br och Cl är höga, vilket är 0,04. 

$\mathrm{P}(\mathrm{hög} \mathrm{Br})$ är lite knepigare. Då måste vi titta på alla möjliga utfall där Br är hög, oavsett värde på Cl. Från tabellen ser vi att det finns två situationer där Br är hög; antingen är Br hög och Cl låg, eller är Br hög och Cl hög. Sannolikheten för respektive utfall är 0,05 respektive 0,04. Eftersom detta är alla utfall som uppfyller kravet om att Br är hög, och utfallen inte kan inträffa samtidigt (Cl kan inte vara både hög och låg samtidigt), kan vi konstatera att $\mathrm{P}(\mathrm{hög} \mathrm{Br})$ är lika med summan av dessa sannolikheter. Kort sagt, $\mathrm{P}(\mathrm{hög} \mathrm{Br})=0,05+0,04=0,09$. 

Detta ger oss beräkningen $\mathrm{P}(\mathrm{hög} \mathrm{Cl} | \mathrm{hög} \mathrm{Br})=\frac{\mathrm{P}(\mathrm{hög} \mathrm{Cl} \cap \mathrm{hög} \mathrm{Br})}{\mathrm{P}(\mathrm{hög} \mathrm{Br})}=\frac{0,04}{0,09}\approx 0,44$. 

Smutstvätt skrev:

(b) och (d) är exempel på betingad sannolikhet. Betingning innebär i princip att utfallsrummet har smalnats av, genom information man vet på förhand (eller utgår ifrån, då det är de specifika situationerna man vill utgå ifrån). Den betingade sannolikheten för B, givet A, skrivs som $P\left(B|A\right)$, och beräknas genom formeln $P\left(B|A\right)=\frac{P(B\cap A)}{P\left(A\right)}$. P(A) är utfallsrummet vi är intresserade av, i (b) är detta Hög Br-halt. 

 

Detta betyder att $\mathrm{P}(\mathrm{hög} \mathrm{Cl} | \mathrm{hög} \mathrm{Br})=\frac{\mathrm{P}(\mathrm{hög} \mathrm{Cl} \cap \mathrm{hög} \mathrm{Br})}{\mathrm{P}(\mathrm{hög} \mathrm{Br})}$. 

$\mathrm{P}(\mathrm{hög} \mathrm{Cl} \cap \mathrm{hög} \mathrm{Br})$ kan vi läsa av direkt från tabellen – det är sannolikheten att både Br och Cl är höga, vilket är 0,04. 

$\mathrm{P}(\mathrm{hög} \mathrm{Br})$ är lite knepigare. Då måste vi titta på alla möjliga utfall där Br är hög, oavsett värde på Cl. Från tabellen ser vi att det finns två situationer där Br är hög; antingen är Br hög och Cl låg, eller är Br hög och Cl hög. Sannolikheten för respektive utfall är 0,05 respektive 0,04. Eftersom detta är alla utfall som uppfyller kravet om att Br är hög, och utfallen inte kan inträffa samtidigt (Cl kan inte vara både hög och låg samtidigt), kan vi konstatera att $\mathrm{P}(\mathrm{hög} \mathrm{Br})$ är lika med summan av dessa sannolikheter. Kort sagt, $\mathrm{P}(\mathrm{hög} \mathrm{Br})=0,05+0,04=0,09$. 

 

Detta ger oss beräkningen $\mathrm{P}(\mathrm{hög} \mathrm{Cl} | \mathrm{hög} \mathrm{Br})=\frac{\mathrm{P}(\mathrm{hög} \mathrm{Cl} \cap \mathrm{hög} \mathrm{Br})}{\mathrm{P}(\mathrm{hög} \mathrm{Br})}=\frac{0,04}{0,09}\approx 0,44$. 

Wow! Tack för det utförliga svaret!