Matematisk modellering: Egenfunktioner för två- och tredim?

Hej!

Har en fråga som lyder:

$u_{xx}-c^2 \Delta u_{yy}=0$ , med $u=0$ på $\partial R$ . Detta ska vara en rektangel med ena sidans längd "a" och andra sidan med en längd "2a".

Denna har jag försökt separera med hjälp av Helmholtz ekvation:

$\Delta u + \lambda u =$ {sätt $u=X(x)Y(y)$ } $= X''Y+XY''+\lambda XY=0$ . Detta ger mig sedan ena halvan av egenfunktionen: $X=Asin((1+ \lambda )2a)$ (om man antar att 2a är längd i x-led)

Är lite osäker på vart jag går fel, enligt facit ska svaret vara att egenvärdet är $\lambda _{mn} = ( \frac{m \pi }{a} )^2 + ( \frac{n \pi }{2a} )^2$ med egenfunktioner $\phi _{mn}(x,y)= sin(\frac{m \pi x}{a})sin(\frac{n \pi y}{2a})$

Svaren känns rent intuitivt rätt, men jag hänger inte alls med på hur dessa ska beräknas. Om jag följer den "vanliga metoden" (endim) får jag rätt svar men där bestämmer jag dessa med hjälp av intuition istället för analys.
Min metod får gärna korrigeras ifall denna är felaktig eller om jag tydligt missförstått något. Behöver främst detta för att kunna genomföra framtida beräkningar på cyllindriska och sfäriska problem.

Du får en lösning för X och en lösning för Y. Den resulterande funktionen blir just XY enligt din ansats.

Calle_K skrev:
Du får en lösning för X och en lösning för Y. Den resulterande funktionen blir just XY enligt din ansats.

Menar du att jag ska få min egenfunktion av att separera $X''Y+XY''+ \lambda XY =0$ till:
ekv. X: $X''+X+ \lambda X=0$ och
ekv. Y: $Y+Y''+ \lambda Y=0$

Eller ska jag endast sepaera 'delarna' av $\Delta u+ \lambda u$ som faktiskt "påverkas"? som:
ekv. X: $X''+ \lambda X=0$ och
ekv. Y: $Y''+ \lambda Y=0$ ?

Jag kan se att det andra alternativet ger det givna egenvärdet och egenfunktionen, men jag förstår inte varför man ska ignorera ett X och ett Y som ges av Helmholtz. Alternativt om jag tolkat ekvationen fel från första början?

*Såg även att jag skrivit ekvationen i min originella post fel, det ska stå $u_{tt}-c^2 \Delta u =0$ .

katal skrev:
Calle_K skrev:
Du får en lösning för X och en lösning för Y. Den resulterande funktionen blir just XY enligt din ansats.

Menar du att jag ska få min egenfunktion av att separera $X''Y+XY''+ \lambda XY =0$ till:
ekv. X: $X''+X+ \lambda X=0$ och
ekv. Y: $Y+Y''+ \lambda Y=0$

Eller ska jag endast sepaera 'delarna' av $\Delta u+ \lambda u$ som faktiskt "påverkas"? som:
ekv. X: $X''+ \lambda X=0$ och
ekv. Y: $Y''+ \lambda Y=0$ ?

Jag kan se att det andra alternativet ger det givna egenvärdet och egenfunktionen, men jag förstår inte varför man ska ignorera ett X och ett Y som ges av Helmholtz. Alternativt om jag tolkat ekvationen fel från första början?

*Såg även att jag skrivit ekvationen i min originella post fel, det ska stå $u_{tt}-c^2 \Delta u =0$ .

Dividera översta ekvationen med XY, så ser du att X och Y blir oberoende av varandra.

Svara

Visa senaste svar