Matematisk konst?

Hej,

Spontant tänker jag på alla mönster som är kopplade till Islam. Eftersom man i den muslimska traditionen inte avbildar människor så som kristendomen gör har de under lång tid utforskat olika geometriska mönster. Se exempelvis https://sv.wikipedia.org/wiki/Girihbitar 

Klas skrev:

Hej,

Spontant ränker jag på alla mönster som är kopplade till Islam. Eftersom man i den muslimska traditionen inte avbildar människor så som kristendomen gör har de under lång tid utforskat olika geometriska mönster. Se exempelvis https://sv.wikipedia.org/wiki/Girihbitar 

Damn har aldrig hört om detta förut, tack för inlägget!

Mandelbrot tycker jag är ganska intressant:

https://www.youtube.com/watch?v=pCpLWbHVNhk 

Fraktal i allmänhet kan resultera i otroligt vacker konst, och är grundat i ren matematik. Se Julia/Mandelbrotmängden (Julia/Mandelbrot set). Det gyllene snittet är även ett matematiskt koncept/förhållande som har visat sig vara väldigt användbart i konst. 

rolig tråd, här har du ett bidrag!

Escher. Han har jobbat mycket med alla tvådimensionella gitter som existerar, och skrivit en bok om detta tillsammans med en matematiker.

Något av det vackraste jag vet är rotsystem. De spelar en central roll i det moderna matematiska studiet av symmetri, och har djupa kopplingar till många delar av både modern och klassisk algebra och geometri.

Om man läser en kurs i något som kallas för representationsteori på universitetet får man lära sig att alla rotsystem är uppbyggda av en slags grundläggande byggstenar - så kallade irreducibla rotsystem. Det finns oändligt många sådana byggstenar, men de går att dela in i fyra olika oändliga familjer:

A-familjen: A₁, A₂, A₃, ...

B-familjen: B₂, B₃, B₄, ...

C-familjen: C₃, C₄, C₅, ...

D-familjen: D₄, D₅, D₆, ...

Eller ja, nästan i alla fall. För det finns fem byggstenar som märkligt nog inte passar in i någon av de här familjerna. De här så kallade exceptionella byggstenarna har fått namnen E₆, E₇, E₈, F₄ och G₂. 

Den största och mest komplicerade av de här exceptionella byggstenarna är E₈. Man behöver egentligen 8 dimensioner för att visualisera den, vilket är långt mer av vad våra mänskliga hjärnor klarar av. Däremot kan man med hjälp av en dator (eller stora mängder tråd och knappnålar) skapa en bild av hur en 2-dimensionell "skugga" av E₈ ser ut.

Bilden man får då är nog en de mest vackra matematiska bilder jag har sett! ^_^

Just den här bilden är skapad av Wikimedia-användaren Jgmoxness (som har fler vackra rotsystembilder på sin profilsida).

Här finns en video som visar E₈ från fler "vinklar", vilket kanske ger en ännu bättre känsla för vilket fantastiskt rikt och komplext matematiskt objekt det är: https://vimeo.com/105546251.

En spännande populärvetenskaplig hemsida om E8 (och nya matematiska rön som kom ut 2007) finns här: https://www.aimath.org/E8/.

Värt att nämna är att de här byggstenarna är intimt sammankopplade med en slags (vid första anblicken i alla fall) simpla grafer som kallas för Dynkin-diagram: 

(Bilden är ritad av Wikimedia-användaren R. A. Nonenmacher.)

De här Dynkin-diagrammen har en mystisk tendens att dyka upp där man minst anar det, och matematikern Pavel Etingof skriver så här i sin introduktionsbok till representationsteori:

The graphs listed in the theorem are called (simply laced) Dynkin diagrams. These graphs arise in a multitude of classification problems in mathematics, such as the classification of simple Lie algebras, singularities, platonic solids, reflection groups, etc. In fact, if we needed to make contact with an alien civilization and show them how sophisticated our civilization is, perhaps showing them Dynkin diagrams would be the best choice!

Slå upp attraktor på wikipedia. 

Det finns många sätt att visualisera komplexa funktioner

http://www.nucalc.com/ComplexFunctions.html

De där 2D color maps tycker jag ser coolast ut.

Det finns också ett matematiskt problem som kallas "tiling the plane" vilket går ut på att konstruera en liten figur som kan fylla ut planet utan några hål. 

https://en.m.wikipedia.org/wiki/Tessellation

Och en till grej som är lite cool:

https://mathworld.wolfram.com/ButterflyLemma.html

Qetsiyah skrev:

Det finns också ett matematiskt problem som kallas "tiling the plane" vilket går ut på att konstruera en liten figur som kan fylla ut planet utan några hål. 

https://en.m.wikipedia.org/wiki/Tessellation

Det finns så otroligt mycket spännande matematik som kretsar kring de här tessellationerna! Ett länktips är den här videon av Veritasium om så kallade penrosetessellationer: https://youtu.be/48sCx-wBs34 (uppkallade efter matematikern och fysikern Roger Penrose, som även var med och delade på 2020 års nobelpris i fysik för sin forskning om svarta hål).

Ett exempel på en liten bit av en penrosetesselation (bilden är skapad av Wikimedia-användaren Inductiveload):

En del av idéerna kring sådana mönster verkar ha figurerat redan på 1400-talet (eller ännu tidigare!) bland konstnärer och arkitekter i mellanöstern, i form av Girih-bitarna som Klas nämnde i sitt första inlägg!

Ytterligare en sak som kanske förtjänar ett omnämnande här är Hopf-fibreringen.

Det är i grund och botten ett verktyg inom algebraisk topologi, för att beskriva och analysera den 3-dimensionella enhetssfären $S^3$, alltså mängden av alla punkter $(x,y,z,w)$ i ett 4-dimensionellt rum som uppfyller ekvationen $x^2+y^2+z^2+w^2=1$.

Detta är en direkt generalisering av den 1-dimensionella enhetscirkeln $S^1=\{(x,y):x^2+y^2=1\}$ (som alla som här läst trigonometri på gymnasiet är bästa kompisar med), och den vanliga 2-dimensionella enhetssfären $S^2=\{(x,y,z):x^2+y^2+z^2=1\}$.

Tyvärr behöver man kunna tänka i 4D för att förstå $S^3$ till fullo, vilket ju våra mänskliga hjärnor inte riktigt klarar av. Men lyckligtvis kan lite förenklat (genom att en slags stereografisk projektion) tänka sig $S^3$ som det vanliga 3-dimensionella rummet med "en extra punkt oändligt långt borta", på samma sätt som man kan föreställa sig $S^2$ som det vanliga 2-dimensionella planet med "en extra punkt oändligt långt borta" enligt den här figuren.

Om vi tänker på det sättet så visar det sig att $S^3$ har en väldigt speciell struktur, som inte liknar något vi känner till för den vanliga 2-dimensionella sfären $S^2$. Man kan nämligen bygga upp $S^3$ som en oändlig samling ihoplänkade cirklar, med en cirkel för varje punkt på $S^2$, på ett sådant sätt att den motsvarande punkten på $S^2$ beror kontinuerligt på var vi är i $S^3$.

Det här kallas på matematikspråk för att vi har en fibrering av $S^3$, med basen $S^2$ och fibern $S^1$, och just den här fibreringen har döpts till Hopf-fibreringen efter matematikern Heinz Hopf.

Ett annat lite mer lättvisualiserat exempel på en fibrering är att ett möbiusband kan byggas upp som en oändlig samling intervall, med ett intervall för varje punkt på en cirkel på följande vis:

Om vi gör en liknande figur för Hopf-fibreringen får vi något väldigt mystiskt!

Här har jag bara valt tre punkter på basen $S^2$ (grå bild längst upp till höger), och ritat ut de motsvarande criklarna i $S^3$ med hjälp av det här fantastiska visualiseringsverktyget (prova gärna själv):

Det riktigt magiska händer när man väljer ut fler punkter på sfären på en gång - då får man en känsla för hur oerhört intrikat struktur $S^3$ har! Här är ett av många exempel ur en fantastisk film som topologikern Niels Johnson har gjort:

Niels Johnson har även gett en ganska lättförståelig föreläsning här som kan vara värd att kolla in. Om man är nyfiken och vill lära sig mer om topologi och högredimensionella objekt så rekommenderar jag videoserien Dimensions, där de bland annat pratar mer om Hopf-fibreringen i del 7 och 8.

https://mathoverflow.net/questions/178139/examples-of-unexpected-mathematical-images/178210#178210