Matematisk formulering av förlängning av balkar(Hållfasthetslära/mekanik)

Vet inte om jag formulerat rubriken rätt men så här ser problemet ut:
Till slut lyckats identifiera två räta trianglar så jag kan använda pytagoras för den deformerade varianten.

Försöker sen förenkla och ställa upp det som normaltöjning.
Normaltöjningen bör då, för ena stången, bli $ε = \frac{L 1 - L}{L} = \frac{\sqrt{L^{2} + 2 u L \sin x + u^{2}} - L}{L}$

Vet inte om jag hamnat fel eller om jag bara är för trött men ser inte hur jag kommer vidare.
Det är inte faktoriserat så jag kan inte dela med L.
Jag kan inte bryta ur något i roten eftersom det inte är faktorer, jag kan inte addera det eftersom allt är variabler som inte har något klart sammanband och så vidare.

Missar jag något uppenbart? Tacksam för hjälp!

$ε = \frac{\sqrt{L^{2} - 2 L u \sin α + u^{2}} - L}{L} = \sqrt{1 - 2 (u / L) \sin α + u^{2} / L^{2}} - 1$ .

Sedan har du Maclaurin: $\sqrt{1 + ϕ} \approx 1 + ϕ / 2$ , då $ϕ$ är litet.

Så jag kan se nämnaren L som kvadrat när jag "delar in den" i roten?
Att jag har addition och subtraktion i roten gör mig förvirrad över hur jag ska tänka i "mellansteget" så att säga.

Utnyttja att $\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a}{b}}$ och att L = $\sqrt{L^{2}}$ .

Så var det ja.. Så då kan jag se det så här?
Har för mig att det finns en term för att dela upp bråk sådär men kommer inte på det..
$\sqrt{\frac{L^{2} - 2 L u \sin α + u^{2}}{L^{2}}} - \frac{L}{L}$

Vid steget $\sqrt{1 - 2 (\frac{u}{L}) \sin α + \frac{u^{2}}{L^{2}}} - 1$

så är u kvadrat väldigt liten(försumbar?) jämfört mot 2(u/L) faktorn.
Valde att ersätta hela 2(u/L) faktorn med x och göra maclaurin med $\sqrt{1 - x}$
Detta ger mig efter återsub: $P_{2} = 1 + \frac{1}{2} x - > 1 + \sin x \frac{u}{L}$
Gör jag maclaurin på även sinx kvarstår $\frac{1}{2} x \frac{u}{L}$ .

Facitsvaret ska vara u/L så någonstans gör jag fel eftersom jag både får en halva och inte blir av med x.
Tips? :)

Eftersom u/L << 1 så kan vi säga att allt efter 1:an är ”något litet”.

$\sqrt{1 - 2 (u / L) \sin α + u^{2} / L^{2}} \approx 1 - \frac{1}{2} (2 (u / L) \sin α + u^{2} / L^{2}) \approx 1 - (u / L) \sin α$ .

Så en linjär approximation borde bli att

$ε = - (u / L) \sin α$ .

Detta resultat verkar mer logiskt än det i facit. Rimligen borde töjningen för den vänstra stången bli negativ eftersom det är uppenbart att deformationen trycker i hop denna stång. Vinkeln borde även spela en roll. Om vinkeln är liten så blir töjningen mer marginell än om vinkeln är runt 90 grader.

Svara

Visa senaste svar